Ursprünge der L’Hôpital-Regel

Guillaume-François-Antoine, Marquis de l’Hôpital, Marquis de Sainte-Mesme, Comte d’Entremont et Seigneur d’Ouques-la-Chaise, allgemein bekannt als Guillaume L’Hôpital, wurde 1661 in Paris in eine Familie mit mächtigem Militärerbe geboren. Doch entgegen dem Willen seiner Familie und der weit verbreiteten Vorstellung von Adel in Frankreich begeisterte er sich schon in jungen Jahren für Mathematik. Während seines Militärdienstes gab er vor, sich in seinem Zelt auszuruhen, und studierte stattdessen Geometrie. Bernard de Fontenelle schrieb in seiner Laudatio auf L’Hôpital über ihn:

Denn man muss zugeben, dass die französische Nation, obwohl sie ebenso wohlerzogen ist wie jede andere, immer noch in jener Barbarei verharrt, die sie fragt, ob die Wissenschaften, bis zu einem gewissen Punkt getrieben, mit dem Adel unvereinbar sind und ob es nicht edler ist, nichts zu wissen. … Ich habe persönlich einige derer erlebt, die zur gleichen Zeit dienten und sehr erstaunt waren, dass ein Mann, der so lebte wie sie, einer der führenden Mathematiker Europas war.

L’Hôpital verließ die französische Armee aufgrund einer Sehbehinderung, obwohl Gerüchte kursierten, er wolle sich ganz der Mathematik widmen. Mit 24 Jahren besuchte er die Oratoriumskongregation im Kreis von Nicolas Malebranche (eine Gruppe, die sich zu Diskussionen und geselligem Austausch trifft), in der sich viele der führenden Mathematiker und Wissenschaftler von Paris aufhielten. Dort traf er Johann Bernoulli, den jüngeren und launischeren Bruder von Jakob Bernoulli, der in seiner Jugend Leibniz unterrichtet hatte und bereits als mathematisches Genie galt. L’Hôpital war Bernoullis enthusiastischster Schüler und bezahlte ihn bald dafür, ihn stattdessen privat zu unterrichten.

L’Hôpital reichte Christiaan Huygens eine Problemlösung aus Bernoullis Kurs ein, ohne zu erwähnen, dass sie nicht seine eigene war. Verständlicherweise nahm Huygens, da es keine gegenteiligen Beweise gab, an, dass L’Hôpital dies getan hatte. Bernoulli war wütend und unterbrach seinen regelmäßigen Briefwechsel mit L’Hôpital für sechs Monate – brach jedoch sein Schweigen, als L’Hôpital ihn gegen ein Honorar von 300 Pfund (und steigender Höhe) um weitere „Entdeckungen“ bat. Er bat seinen Tutor zudem um die Exklusivrechte an seinen Durchbrüchen und Vorlesungen. Bernoulli antwortete umgehend, er werde nie wieder etwas veröffentlichen, wenn L’Hôpital dies wünsche.

Auf der Grundlage von Bernoullis Entdeckungen und Notizen aus seinen Vorlesungen veröffentlichte L’Hôpital das erste Lehrbuch der Infinitesimalrechnung: Analyse de infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes (Analyse unendlich kleiner Mengen zum Verständnis von Kurven). Darin beschreibt er, wie man ansonsten unbestimmte Grenzwerte auswertet:

1. Nehmen Sie an, dass zwei Größen, deren Unterschied infinitesimal ist, gleichgültig füreinander betrachtet (oder verwendet) werden können; oder (was dasselbe ist), dass eine Größe, die nur infinitesimal vergrößert oder verkleinert wird, als gleichbleibend betrachtet werden kann.

2. Nehmen Sie an, dass eine Kurve als die Ansammlung einer unendlichen Anzahl unendlich kleiner gerader Linien betrachtet werden kann; oder (was dasselbe ist) als ein Polygon mit einer unendlichen Anzahl von Seiten, von denen jede unendlich klein ist und die Krümmung der Kurve durch die Winkel bestimmen, die sie miteinander bilden.

Allerdings wird es nicht so formal dargestellt wie in zeitgenössischen Lehrbüchern zur Infinitesimalrechnung, wie in Abschnitt 4.4 von Stewarts „Calculus: Early Transcendentals“, in dem Folgendes beschrieben wird:

als die Regel von L’Hôpital (im Buch als L’Hospital zitiert), sind seine ursprüngliche Aussage und die modernen Iterationen konzeptionell identisch. Wenn L’Hôpital von infinitesimalen Differenzen spricht, ist dies analog zur Darstellung von Grenzwerten. Die Idee der „infinitely kleinen Geraden“ repräsentiert das geometrische Verständnis der Differenzierung und ist ein Vorläufer unseres heutigen Begriffs der Ableitung. Insgesamt besagt L’Hôpitals ursprünglicher Satz, wie in Abschnitt 4.4., dass indefinite Formen durch die Bestimmung der Änderungsrate der Funktionen gelöst werden können.

Sympathisanten Johann Bernoullis behaupten, er sei gezwungen worden, sich dem Willen des Adels zu beugen. Trotz Bernoullis anfänglicher Zustimmung aus finanzieller Not blieb die Vereinbarung bis weit in seine erfolgreiche Professur in Groningen bestehen. Erst nach dem Tod seines ehemaligen Studenten behauptete Bernoulli, L’Hôpitals Buch sei „im Wesentlichen seins“. Zu diesem Zeitpunkt war Bernoullis Ruf nach mehreren Auseinandersetzungen mit seinem älteren Bruder angeschlagen. Damals war es üblich, dass der Adel die Dienste hochrangiger Fachleute wie Politiker und Anwälte bezahlte, und viele betrachteten L’Hôpital selbst als kompetenten Mathematiker.

Ein früher Punkt, der Zweifel an der Integrität von L’Hôpitals Arbeit aufkommen ließ, war seine Lösung des Brachistochronenproblems (das 1696 von Johann Bernoulli gestellt wurde und sich mit der Kurve des schnellsten Abstiegs befasste):

Neues Problem, das Mathematiker lösen sollen: Wenn zwei Punkte A und B in einer vertikalen Ebene gegeben sind, soll einem beweglichen Teilchen M der Weg AMB zugewiesen werden, auf dem es, unter seinem eigenen Gewicht nach unten sinkend, in kürzester Zeit vom Punkt A zum Punkt B gelangt.

Es wurde vermutet, dass L’Hôpitals Antwort auf die Frage nicht seine eigene war, sondern wahrscheinlich die seines Lehrers Bernoulli selbst.

L’Hôpital verstand es schließlich, die Lehren Johann Bernoullis zu synthetisieren und veröffentlichte ein grundlegendes Werk auf dem sich rasch entwickelnden Gebiet der Infinitesimalrechnung, das die Entwicklungen einem riesigen Publikum zugänglich machte. Seine Arbeit genügte jedoch nicht den heutigen Standards akademischer Integrität, und man könnte sagen, er missbrauchte seine finanzielle Position, um im Frankreich des 17. Jahrhunderts zu einer akademischen Berühmtheit zu werden, ohne über die echten Innovationen seiner Kollegen zu verfügen.

References

“Acta Eruditorum. 1696.” Internet Archive, Lipsiae : Apud J. Grossium et J.F. Gletitschium, 1 Jan. 1696, archive.org/details/s1id13206630.

Katz, Victor J. A History of Mathematics. 3rd ed., Pearson Education Limited, 2014.

L’Hospital, Guillaume François Antoine De, and M. Varignon. Analyse Des Infiniments Pettits, Pour l’intelligence Des Lignes Courbes. ALL-Éditions, 1988.

O’Connor, J J, and E F Robertson. “Guillaume François Antoine Marquis de L’Hôpital.” Maths History, University of St. Andrews School of Mathematics and Statistics, Dec. 2008, mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/De_LHopital/.

Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. Vol. 8.