洛必达规则的起源

纪尧姆-弗朗索瓦-安托万·洛必达侯爵（Guillaume-François-Antoine Marquis de l’Hôpital），圣梅姆侯爵（Marquis de Sainte-Mesme），昂特蒙伯爵兼乌克拉谢斯领主（Comte d’Entremont et Seigneur d’Ouques-la-Chaise），俗称纪尧姆·洛必达（Guillaume L’Hôpital），1661年出生于巴黎一个军事世家。然而，他违背家人意愿，也违背了法国普遍的贵族观念，从小就对数学充满热情。服兵役期间，他假装在帐篷里休息，却去学习几何。伯纳德·德·丰特内尔（Bernard de Fontenelle）在悼念洛必达的悼词中写道：

因为必须承认，法国民族虽然和其他民族一样彬彬有礼，但仍然处于某种野蛮状态，它怀疑科学发展到一定程度是否与高贵格格不入，一无所知是否更高贵……我亲眼见过一些同时期服役的人，他们非常惊讶，一个和他们生活得一样的人竟然是欧洲顶尖的数学家之一。

洛必达因视力障碍离开了法国军队，尽管有传言说他只是想全身心投入数学研究。如今，24岁的他参加了尼古拉·马勒伯朗士圈子（一个聚集在一起讨论和交流的团体）的圣堂集会，这个圈子里聚集了巴黎许多顶尖的数学家和科学家。在那里，他遇到了约翰·伯努利，雅各布·伯努利的弟弟，性格也更任性。雅各布·伯努利年轻时曾教过莱布尼茨，当时已被认为是一位数学天才。洛必达是伯努利最热心的学生，不久后便花钱请他做私人辅导老师。

洛必达将伯努利教授课程中的一个解题方法提交给了克里斯蒂安·惠更斯，但并未声明这不是他自己的。惠更斯理所当然地认为这解是洛必达的，因为没有相反的证据。伯努利非常愤怒，中断了与洛必达六个月的频繁书信往来——但当洛必达以300英镑（且还在不断增加）的聘金要求他提供更多“发现”时，伯努利打破了沉默。他要求导师也授予他关于这些突破和讲座的独家权利。伯努利迅速回应说，如果洛必达愿意，他这辈子都不会再发表任何东西。

洛必达借鉴伯努利的发现和讲座笔记，出版了第一本微积分教科书：《为理解曲线而分析无穷小量》。在书中，他概述了如何评估不确定的极限：

1. 承认两个量，它们的差值是无穷小的，可以被视为（或使用）彼此无差别；或者（这是同一件事）一个量，如果只增加或减少了无穷小的量，可以被认为保持不变。

2. 假设曲线可以看作是无数条无限小直线的集合；或者（这是一回事）看作是一个具有无数条边的多边形，每条边都无限小，这些边彼此之间形成的角度决定了曲线的曲率。

虽然没有像当代微积分教科书那样正式呈现，但如斯图尔特的《微积分：早期超越函数》第 4.4 节所述：

正如洛必达规则（书中简称洛必达）所言，他的原始表述与现代的迭代在概念上是一致的。当洛必达谈到无穷小的差时，这类似于极限的表示。“无穷小直线”的概念代表了对微分的几何理解，也是我们当前导数概念的祖先。总而言之，正如第 4.4 节所述，洛必达的原始定理指出，不定式可以通过求函数的变化率来求解。

约翰·伯努利的支持者声称，他是被迫屈从于贵族的意愿。尽管伯努利最初出于经济拮据而同意了，但这种安排在他担任格罗宁根大学教授期间依然持续了很长一段时间。直到他这位前学生去世后，伯努利才声称洛必达的书“本质上是他的”。当时，伯努利与兄长多次争吵后，名声不佳。当时，贵族出钱聘请政客和律师等高位专业人士提供服务是常态，许多人认为洛必达本身就是一位称职的数学家。

洛必达著作的完整性早期受到质疑的一个点是他对最速降线问题（由约翰·伯努利于 1696 年提出，是一个关于最快下降曲线的问题）的解决方案：

请数学家解答一个新问题：设垂直平面上有A、B两点，要求运动粒子M沿其自身重量下降的路径AMB，在最短的时间内从A点运动到B点。

有人认为洛必达对这个问题的答案并不是他自己的，很可能是他的老师伯努利本人的答案。

最终，洛必达巧妙地整合了约翰·伯努利的学说，并出版了一部在快速发展的微积分领域中至关重要的巨著，使众多读者能够接触到这些进展。然而，他的著作并不符合当今学术诚信的标准，可以说，他滥用自己的经济地位，成为了十七世纪法国的学术名人，却没有像他的同行那样进行真正的创新。

References

“Acta Eruditorum. 1696.” Internet Archive, Lipsiae : Apud J. Grossium et J.F. Gletitschium, 1 Jan. 1696, archive.org/details/s1id13206630.

Katz, Victor J. A History of Mathematics. 3rd ed., Pearson Education Limited, 2014.

L’Hospital, Guillaume François Antoine De, and M. Varignon. Analyse Des Infiniments Pettits, Pour l’intelligence Des Lignes Courbes. ALL-Éditions, 1988.

O’Connor, J J, and E F Robertson. “Guillaume François Antoine Marquis de L’Hôpital.” Maths History, University of St. Andrews School of Mathematics and Statistics, Dec. 2008, mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/De_LHopital/.

Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. Vol. 8.