Nguồn gốc của Quy tắc L’Hôpital

Guillaume-François-Antoine Hầu tước de l’Hôpital, Hầu tước de Sainte-Mesme, Comte d’Entremont et Seigneur d’Ouques-la-Chaise, được biết đến rộng rãi với cái tên Guillaume L’Hôpital, sinh năm 1661 tại Paris trong một gia đình có truyền thống quân sự hùng mạnh. Tuy nhiên, trái với mong muốn của gia đình và nhận thức phổ biến về giới quý tộc ở Pháp, ông đã đam mê toán học từ khi còn nhỏ. Trong thời gian phục vụ quân ngũ, ông giả vờ nghỉ ngơi trong lều của mình và thay vào đó là học hình học. Bernard de Fontenelle đã viết về ông trong bài điếu văn của mình về L’Hôpital:

Bởi vì phải thừa nhận rằng dân tộc Pháp, mặc dù có văn hóa tốt như bất kỳ dân tộc nào khác, vẫn còn trong tình trạng man rợ khiến họ tự hỏi liệu khoa học, khi được đưa đến một mức độ nhất định, có tương thích với sự cao quý hay không, và liệu không biết gì có phải là cao quý hơn không. … Cá nhân tôi đã chứng kiến ​​một số người từng phục vụ cùng thời, vô cùng kinh ngạc khi một người sống như họ lại là một trong những nhà toán học hàng đầu ở châu Âu.

L’Hôpital rời quân đội Pháp do khiếm thị, mặc dù có tin đồn rằng ông chỉ muốn theo đuổi toán học toàn thời gian. Khi đã hai mươi bốn tuổi, ông tham dự Hội đồng Oratory trong nhóm của Nicolas Malebranche (một nhóm tập hợp để thảo luận và giao lưu), nơi có nhiều nhà toán học và nhà khoa học hàng đầu của Paris. Ở đó, ông gặp Johann Bernoulli, người em trai trẻ hơn và bướng bỉnh hơn của Jakob Bernoulli, người đã dạy Leibniz khi còn trẻ và đã được coi là một thiên tài toán học. L’Hôpital là học trò nhiệt tình nhất của Bernoulli và sớm trả tiền để Bernoulli dạy kèm riêng cho mình.

L’Hôpital đã nộp một giải pháp cho bài toán từ khóa học mà Bernoulli đã giao cho Christiaan Huygens mà không nói rằng đó không phải là của ông. Có thể hiểu được là vì không có bằng chứng nào chứng minh điều ngược lại nên Huygens cho rằng L’Hôpital đã làm điều đó. Bernoulli tức giận và đã ngừng trao đổi thư từ thường xuyên với L’Hôpital trong sáu tháng - nhưng đã phá vỡ sự im lặng của mình khi L’Hôpital yêu cầu ông cung cấp thêm “khám phá” với mức lương cố định là ba trăm pound (và ngày càng tăng). Ông yêu cầu gia sư của mình cũng trao cho ông quyền độc quyền đối với những đột phá và bài giảng của mình. Bernoulli nhanh chóng trả lời rằng ông sẽ không công bố bất cứ điều gì nữa trong cuộc đời mình nếu L’Hôpital muốn.

Dựa trên những khám phá của Bernoulli và ghi chú từ các bài giảng của ông, L’Hôpital đã xuất bản cuốn sách giáo khoa đầu tiên về phép tính vi phân: Analyse de infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes (Phân tích các đại lượng vô cùng nhỏ để hiểu các đường cong). Trong đó, ông phác thảo cách đánh giá các giới hạn không xác định:

1. Giả sử rằng hai đại lượng có hiệu số là một đại lượng vô cùng nhỏ có thể được lấy (hoặc sử dụng) không khác nhau đối với nhau; hoặc (là cùng một thứ) rằng một đại lượng chỉ tăng hoặc giảm một đại lượng vô cùng nhỏ có thể được coi là không đổi.

2. Giả sử một đường cong có thể được coi là tập hợp của vô số các đường thẳng vô cùng nhỏ; hoặc (cũng giống như vậy) là một đa giác có vô số cạnh, mỗi cạnh vô cùng nhỏ, xác định độ cong của đường cong bằng các góc chúng tạo với nhau.

Mặc dù không được trình bày chính thức như trong sách giáo khoa giải tích hiện đại, như trong Phần 4.4 của cuốn Giải tích: Các phép siêu việt ban đầu của Stewart, trong đó mô tả:

như quy tắc của L’Hôpital (được trích dẫn trong sách là L’Hospital), tuyên bố ban đầu của ông và các phiên bản hiện đại về mặt khái niệm là giống hệt nhau. Khi L’Hôpital nói về những khác biệt vô cùng nhỏ, điều này tương tự như biểu diễn giới hạn. Ý tưởng về “các đường thẳng vô cùng nhỏ” thể hiện sự hiểu biết hình học về phép tính vi phân và là tiền thân của khái niệm đạo hàm hiện tại của chúng ta. Nhìn chung, như trong Mục 4.4., định lý ban đầu của L’Hôpital nói rằng các dạng không xác định có thể được giải bằng cách tìm tốc độ thay đổi của các hàm.

Những người ủng hộ Johann Bernoulli tuyên bố ông đã bị ép buộc phải tuân theo ý muốn của giới quý tộc. Bất chấp thỏa thuận ban đầu của Bernoulli vì sự tuyệt vọng về tài chính, thỏa thuận này vẫn tiếp tục kéo dài trong suốt thời gian ông làm giáo sư thành công tại Groningen. Bernoulli tuyên bố cuốn sách của L'Hôpital "về cơ bản là của ông" chỉ sau khi học trò cũ của ông qua đời. Vào thời điểm đó, danh tiếng của Bernoulli đã trở nên mờ nhạt sau nhiều lần cãi vã với anh trai mình. Vào thời điểm đó, giới quý tộc thường trả tiền cho các dịch vụ từ những chuyên gia có quyền lực cao như chính trị gia và luật sư, và nhiều người coi L'Hôpital là một nhà toán học có năng lực.

Một điểm nghi ngờ ban đầu về tính toàn vẹn của công trình của L’Hôpital là giải pháp của ông cho bài toán brachistochrone (do Johann Bernoulli đặt ra năm 1696, một bài toán về đường cong xuống nhanh nhất):

Bài toán mới mà các nhà toán học được mời giải: Nếu cho hai điểm A và B trên một mặt phẳng thẳng đứng, hãy chỉ định cho một hạt chuyển động M đường đi AMB theo đó, hạt này sẽ hạ xuống dưới trọng lượng của chính nó, đi từ điểm A đến điểm B trong thời gian ngắn nhất.

Người ta cho rằng câu trả lời của L’Hôpital cho câu hỏi này không phải là của chính ông, mà có thể là của chính thầy của ông, Bernoulli.

Cuối cùng, L’Hôpital đã thành thạo trong việc tổng hợp các bài giảng của Johann Bernoulli và xuất bản một tác phẩm thiết yếu trong lĩnh vực phép tính vi phân đang phát triển nhanh chóng, giúp cho lượng độc giả khổng lồ có thể tiếp cận được với các phát triển. Tuy nhiên, tác phẩm của ông không đạt được các tiêu chuẩn hiện tại về tính chính trực trong học thuật, và có thể nói rằng ông đã lạm dụng vị thế tài chính của mình để trở thành một người nổi tiếng trong giới học thuật ở Pháp vào thế kỷ XVII mà không có sự đổi mới thực sự của những người đồng cấp.

References

“Acta Eruditorum. 1696.” Internet Archive, Lipsiae : Apud J. Grossium et J.F. Gletitschium, 1 Jan. 1696, archive.org/details/s1id13206630.

Katz, Victor J. A History of Mathematics. 3rd ed., Pearson Education Limited, 2014.

L’Hospital, Guillaume François Antoine De, and M. Varignon. Analyse Des Infiniments Pettits, Pour l’intelligence Des Lignes Courbes. ALL-Éditions, 1988.

O’Connor, J J, and E F Robertson. “Guillaume François Antoine Marquis de L’Hôpital.” Maths History, University of St. Andrews School of Mathematics and Statistics, Dec. 2008, mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/De_LHopital/.

Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. Vol. 8.