L'Hôpital's Rule کی ابتدا

Guillaume-François-Antoine Marquis de l'Hôpital, Marquis de Sainte-Mesme, Comte d'Entremont et Seigneur d'Ouques-la-chaise، جسے Guillaume L'Hôpital کے نام سے جانا جاتا ہے، 1661 میں پیرس میں ایک طاقتور خاندان کے ساتھ پیدا ہوا تھا۔ تاہم، اپنے خاندان کی خواہشات اور فرانس میں شرافت کے وسیع تصور کے خلاف، وہ چھوٹی عمر سے ہی ریاضی کے بارے میں پرجوش تھے۔ اپنی فوجی خدمات کے دوران، اس نے اپنے خیمے میں آرام کرنے کا ڈرامہ کیا اور جیومیٹری کی تعلیم حاصل کی۔ برنارڈ ڈی فونٹینیل نے L'Hôpital کی تعریف میں ان کے بارے میں لکھا:

کیوں کہ یہ تسلیم کرنا ضروری ہے کہ فرانسیسی قوم، اگرچہ کسی بھی دوسرے کی طرح بااخلاق ہے، پھر بھی اس قسم کی بربریت میں مبتلا ہے جس سے وہ حیران ہے کہ کیا علوم، جو ایک خاص مقام تک لے گئے ہیں، شرافت سے مطابقت نہیں رکھتے، اور کیا کچھ نہ جاننا زیادہ شریف نہیں ہے۔ … میں نے ذاتی طور پر ان لوگوں میں سے کچھ کو دیکھا ہے جنہوں نے ایک ہی وقت میں خدمات انجام دیں، بہت حیران ہوئے کہ ان جیسا رہنے والا ایک شخص یورپ کے معروف ریاضی دانوں میں سے ایک تھا۔

L'Hôpital نے بصارت کی خرابی کی وجہ سے فرانسیسی فوج کو چھوڑ دیا، حالانکہ یہ افواہ تھی کہ وہ صرف کل وقتی ریاضی کا پیچھا کرنا چاہتا تھا۔ اب چوبیس سال کی عمر میں، اس نے نکولس میلبرانچے کے حلقے (ایک گروپ جو بحث اور رفاقت کے لیے اکٹھا ہوتا ہے) میں تقریر کی جماعت میں شرکت کی جس میں پیرس کے بہت سے سرکردہ ریاضی دانوں اور سائنس دانوں کی آبادی تھی۔ وہاں، اس کی ملاقات جیکب برنولی کے چھوٹے اور زیادہ پُرجوش بھائی جوہان برنولی سے ہوئی، جس نے اپنی جوانی میں لیبنز کو پڑھایا تھا اور وہ پہلے سے ہی ریاضیاتی ذہین سمجھا جاتا تھا۔ L'Hôpital برنولی کا سب سے زیادہ پرجوش طالب علم تھا اور جلد ہی اس کی بجائے اسے نجی طور پر ٹیوٹر دینے کے لیے پیسے دیتا تھا۔

L'Hôpital نے برنولی نے اس کورس سے ایک مسئلہ حل پیش کیا جس نے اسے کرسٹیان ہیوگینس کو یہ بتائے بغیر دیا تھا کہ یہ اس کا اپنا نہیں ہے۔ واضح طور پر، اس کے برعکس کسی ثبوت کے بغیر، ہیوگینس نے فرض کیا کہ L'Hôpital نے یہ کیا ہے۔ برنولی غصے میں تھا اور اس نے L'Hôpital کے ساتھ چھ مہینوں تک اپنی متواتر خط و کتابت کو توڑ دیا - لیکن جب L'Hôpital نے اس سے تین سو پاؤنڈ (اور بڑھتے ہوئے) ریٹینر پر مزید "دریافتوں" کے لئے کہا تو اس نے اپنی خاموشی توڑ دی۔ اس نے اپنے ٹیوٹر سے کہا کہ وہ اسے اپنی کامیابیوں اور لیکچرز کے خصوصی حقوق بھی دیں۔ برنولی نے فوری جواب دیا کہ اگر L'Hôpital چاہیں تو وہ اپنی زندگی میں دوبارہ کچھ شائع نہیں کریں گے۔

برنولی کی دریافتوں اور ان کے لیکچرز کے نوٹوں سے اخذ کرتے ہوئے، L'Hôpital نے شائع کیا جو پہلی کیلکولس کی نصابی کتاب بنے گی: Analyse de infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (Infinitely Small Quantities کا تجزیہ) غیر متعین حدود:

1. یہ اجازت دیں کہ دو مقداریں، جن کا فرق لامحدود طور پر کم مقدار میں ہے، ایک دوسرے کے لیے لاتعلقی سے لیا (یا استعمال) کیا جا سکتا ہے۔ یا (جو ایک ہی چیز ہے) کہ ایک مقدار جس میں صرف ایک لامحدود چھوٹی مقدار سے اضافہ یا کمی ہو اسے باقی مانی جاسکتی ہے۔

2. عطا کریں کہ ایک منحنی خطوط کو لامحدود تعداد میں لامحدود چھوٹی سیدھی لکیروں کا مجموعہ سمجھا جا سکتا ہے۔ یا (جو ایک ہی چیز ہے) اطراف کی لامحدود تعداد کے کثیر الاضلاع کے طور پر، ہر ایک لامحدود طور پر چھوٹا، جو ایک دوسرے کے ساتھ بنائے جانے والے زاویوں سے منحنی خطوط کا تعین کرتا ہے۔

اگرچہ ہم عصری کیلکولس کی نصابی کتابوں کی طرح رسمی طور پر پیش نہیں کیا گیا، جیسا کہ سٹیورٹ کے کیلکولس کے سیکشن 4.4 میں: ابتدائی ماورائی، جو بیان کرتا ہے:

L'Hôpital کے اصول کے طور پر (کتاب میں L'Hospital کے طور پر حوالہ دیا گیا ہے،) اس کا اصل بیان اور جدید تکرار تصوراتی طور پر ایک جیسے ہیں۔ جب L'Hôpital لامحدود چھوٹے فرقوں کے بارے میں بات کرتا ہے، تو یہ حدود کی نمائندگی کے مترادف ہے۔ "لامحدود چھوٹی سیدھی لکیروں" کا خیال تفریق کی ہندسی تفہیم کی نمائندگی کرتا ہے اور یہ ہمارے موجودہ تصور مشتق کا پرکھ ہے۔ مجموعی طور پر، جیسا کہ سیکشن 4.4 میں ہے، L'Hôpital کا اصل نظریہ کہتا ہے کہ غیر معینہ شکلوں کو افعال کی تبدیلی کی شرح تلاش کرکے حل کیا جا سکتا ہے۔

جوہان برنولی کے ہمدردوں کا دعویٰ ہے کہ اسے شرافت کی مرضی کے تابع ہونے پر مجبور کیا گیا تھا۔ مالی مایوسی کی وجہ سے برنولی کے ابتدائی معاہدے کے باوجود، یہ انتظام ان کی گروننگن میں کامیاب پروفیسر شپ تک جاری رہا۔ برنولی نے دعوی کیا کہ L'Hôpital کی کتاب "بنیادی طور پر اس کی" تھی صرف اس کے سابق طالب علم کی موت کے بعد۔ اس وقت، برنولی کی ساکھ اپنے بڑے بھائی کے ساتھ متعدد قطاروں کے بعد مخدوش تھی۔ اس وقت، سیاستدانوں اور وکلاء جیسے اعلیٰ طاقت والے پیشہ ور افراد سے خدمات کے لیے ادائیگی کرنا شرافت کے لیے معیاری تھا، اور بہت سے لوگ L'Hôpital کو اپنے طور پر ایک قابل ریاضی دان سمجھتے تھے۔

L'Hôpital کے کام کی سالمیت میں شک کا ایک ابتدائی نکتہ اس کا بریچیسٹوکرون کے مسئلے کا حل تھا (جوہان برنولی نے 1696 میں پیش کیا تھا، جو تیز ترین نزول کے منحنی خطوط کے بارے میں ایک مسئلہ ہے):

نیا مسئلہ جس کو حل کرنے کے لیے ریاضی دانوں کو مدعو کیا جاتا ہے: اگر عمودی جہاز میں دو پوائنٹس A اور B دیے جائیں، تو ایک موبائل پارٹیکل M کو AMB کا راستہ تفویض کرنے کے لیے، جس کے ساتھ ساتھ، اپنے وزن کے نیچے اترتے ہوئے، یہ مختصر ترین وقت میں پوائنٹ A سے پوائنٹ B تک جاتا ہے۔

یہ تجویز کیا گیا تھا کہ L'Hôpital کا اس سوال کا جواب ان کا اپنا نہیں تھا، شاید خود اس کے استاد برنولی کا تھا۔

بالآخر، L'Hôpital Johann Bernoulli کی تعلیمات کی ترکیب سازی میں مہارت رکھتا تھا اور اس نے کیلکولس کے تیزی سے ترقی پذیر شعبے میں ایک ضروری تصنیف شائع کی، جس نے پیش رفت کو بہت زیادہ سامعین کے لیے قابل رسائی بنا دیا۔ تاہم، اس کا کام تعلیمی سالمیت کے موجودہ معیار پر پورا نہیں اترے گا، اور یہ کہا جا سکتا ہے کہ اس نے اپنے ساتھیوں کی حقیقی اختراع کے بغیر سترہویں صدی کے فرانس میں ایک علمی مشہور شخصیت بننے کے لیے اپنی مالی حیثیت کا غلط استعمال کیا۔

References

“Acta Eruditorum. 1696.” Internet Archive, Lipsiae : Apud J. Grossium et J.F. Gletitschium, 1 Jan. 1696, archive.org/details/s1id13206630.

Katz, Victor J. A History of Mathematics. 3rd ed., Pearson Education Limited, 2014.

L’Hospital, Guillaume François Antoine De, and M. Varignon. Analyse Des Infiniments Pettits, Pour l’intelligence Des Lignes Courbes. ALL-Éditions, 1988.

O’Connor, J J, and E F Robertson. “Guillaume François Antoine Marquis de L’Hôpital.” Maths History, University of St. Andrews School of Mathematics and Statistics, Dec. 2008, mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/De_LHopital/.

Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. Vol. 8.