Витоки правила Лопіталя

Гійом-Франсуа-Антуан Маркіз де Л’Опіталь, маркіз де Сент-Месме, граф д’Ентремон і сеньйор д’Ук-ля-Шез, відомий у народі як Гійом Л’Гопіталь, народився в 1661 році в Парижі в сім’ї з потужною військовою спадщиною. Однак, всупереч волі його сім’ї та широко поширеному у Франції уявленню про дворянство, він із юних років захопився математикою. Під час військової служби він удавав, що відпочиває у своєму наметі, а замість цього вивчав геометрію. Бернар де Фонтенель писав про нього у своєму панегірику L’Hôpital:

Бо слід визнати, що французька нація, хоч і має такі ж гарні манери, як і будь-яка інша, все ще перебуває в такому варварстві, через яке вона задається питанням, чи науки, доведені до певного рівня, несумісні з благородством і чи не благородніше нічого не знати. … Я особисто бачив, як деякі з тих, хто служив у той самий час, були дуже здивовані тим, що людина, яка жила як вони, була одним із провідних математиків Європи.

Л’Гопіталь покинув французьку армію через погіршення зору, хоча, за чутками, він просто хотів займатися математикою на повну ставку. Тепер йому було двадцять чотири роки, і він відвідував конгрегацію ораторії в колі Ніколя Мальбранша (група, яка збирається для обговорень і спілкування), яку наповнювали багато провідних математиків і вчених Парижа. Там він познайомився з Йоганном Бернуллі, молодшим і більш запеклим братом Якоба Бернуллі, який навчав Лейбніца в його молодості і вже вважався математичним генієм. Л’Гопіталь був найзавзятішим учнем Бернуллі й незабаром заплатив йому за те, щоб він навчав його приватно.

Л’Гопіталь надав Крістіану Гюйгенсу рішення проблеми з курсу, який Бернуллі дав йому, не сказавши, що воно не його власне. Зрозуміло, що, не маючи доказів протилежного, Гюйгенс припустив, що це зробив Л’Гопіталь. Бернуллі був розгніваний і перервав своє часте листування з Л’Гопіталем на шість місяців, але порушив мовчання, коли Л’Гопіталь попросив у нього більше «відкриттів» на триста фунтів (і збільшувався) гонорар. Він попросив свого викладача також надати йому ексклюзивні права на його відкриття та лекції. Бернуллі швидко відповів, що більше нічого не публікуватиме у своєму житті, якби L’Hôpital забажав.

Спираючись на відкриття Бернуллі та нотатки з його лекцій, Л’Гопіталь опублікував те, що стало першим підручником з числення: Analyse de infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes (Аналіз нескінченно малих величин для розуміння кривих). У ній він описує, як оцінити інакше невизначені межі:

1. Допустіть, що дві величини, різниця яких є нескінченно малою величиною, можуть бути прийняті (або використані) байдуже одна для одної; або (що те саме), що кількість, яка збільшується або зменшується лише на нескінченно малу величину, може вважатися такою, що залишається незмінною.

2. Дозвольте, що криву можна розглядати як сукупність нескінченної кількості нескінченно малих прямих; або (що те саме) як багатокутник із нескінченною кількістю сторін, кожна нескінченно мала, які визначають кривизну кривої кутами, які вони утворюють одна з одною.

Хоча представлено не так формально, як у сучасних підручниках з числення, як у Розділі 4.4 «Обчислення Стюарта: Ранні трансцендентальні», де описано:

за правилом Лопіталя (цитованого в книзі як L’Hospital), його оригінальне твердження та сучасні ітерації концептуально ідентичні. Коли Лопіталь говорить про нескінченно малі відмінності, це аналогічно представленню меж. Ідея «нескінченно малих прямих» представляє геометричне розуміння диференціювання та є прабатьком нашої нинішньої концепції похідної. Загалом, як і в Розділі 4.4., вихідна теорема Лопіталя говорить, що невизначені форми можна розв’язати шляхом знаходження швидкості зміни функцій.

Прихильники Йоганна Бернуллі стверджують, що його змусили підкоритися волі дворянства. Незважаючи на початкову згоду Бернуллі через фінансову безвихідь, угода тривала протягом тривалого періоду його успішної професорської діяльності в Гронінгені. Бернуллі заявив, що книга Лопіталя була «по суті його» лише після смерті його колишнього учня. На той момент репутація Бернуллі була туманною після численних сварок зі старшим братом. У той час для знаті було стандартом платити за послуги високовладних професіоналів, таких як політики та юристи, і багато хто вважав Л’Гопіталя компетентним математиком.

Однією з перших причин сумнівів у цілісності роботи Лопіталя було його розв’язання проблеми брахістохрони (поставленої Йоганном Бернуллі в 1696 році, проблеми про криву найшвидшого спуску):

Нова задача, яку пропонується розв’язати математикам: якщо у вертикальній площині задано дві точки A і B, то приписати рухомій частинці M шлях AMB, по якому вона, опускаючись під дією власної ваги, пройде з точки A в точку B за найкоротший час.

Висловлювалося припущення, що відповідь Л’Опіталя на запитання була не його власною, ймовірно, відповіддю самого його вчителя Бернуллі.

Зрештою, L’Hôpital зумів синтезувати вчення Йоганна Бернуллі та опублікував важливий опус у галузі числення, що швидко розвивається, що зробило розробки доступними для величезної аудиторії. Однак його робота не відповідатиме сучасним стандартам академічної доброчесності, і можна сказати, що він зловживав своїм фінансовим становищем, щоб стати академічною знаменитістю у Франції XVII століття без справжньої інновації своїх однолітків.

References

“Acta Eruditorum. 1696.” Internet Archive, Lipsiae : Apud J. Grossium et J.F. Gletitschium, 1 Jan. 1696, archive.org/details/s1id13206630.

Katz, Victor J. A History of Mathematics. 3rd ed., Pearson Education Limited, 2014.

L’Hospital, Guillaume François Antoine De, and M. Varignon. Analyse Des Infiniments Pettits, Pour l’intelligence Des Lignes Courbes. ALL-Éditions, 1988.

O’Connor, J J, and E F Robertson. “Guillaume François Antoine Marquis de L’Hôpital.” Maths History, University of St. Andrews School of Mathematics and Statistics, Dec. 2008, mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/De_LHopital/.

Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. Vol. 8.