L'Hôpital Kuralının Kökenleri

Guillaume-François-Antoine Marquis de l’Hôpital, Marquis de Sainte-Mesme, Comte d’Entremont et Seigneur d’Ouques-la-Chaise, halk arasında Guillaume L’Hôpital olarak bilinir, 1661'de Paris'te güçlü bir askeri mirasa sahip bir ailede doğdu. Ancak ailesinin isteklerine ve Fransa'daki yaygın asalet algısına rağmen, küçük yaştan itibaren matematiğe tutkuyla bağlandı. Askerlik hizmeti sırasında çadırında dinleniyormuş gibi yaptı ve bunun yerine geometri çalıştı. Bernard de Fontenelle, L’Hôpital'e yazdığı övgüde onun hakkında şöyle yazdı:

Zira Fransız milletinin, diğerleri kadar terbiyeli olmasına rağmen, hâlâ bilimlerin belli bir noktaya kadar götürüldüğünde soylulukla bağdaşıp bağdaşmadığını ve hiçbir şey bilmemenin daha soylu olup olmadığını merak ettiği bir tür barbarlık içinde olduğu kabul edilmelidir. … Aynı dönemde hizmet etmiş olanlardan bazılarının, kendileri gibi yaşayan bir adamın Avrupa’nın önde gelen matematikçilerinden biri olmasına çok şaşırdıklarını bizzat gördüm.

L’Hôpital, görme bozukluğu nedeniyle Fransız ordusundan ayrıldı, ancak söylentilere göre tam zamanlı matematikle uğraşmak istiyordu. Şimdi yirmi dört yaşında olan L’Hôpital, Nicolas Malebranche’ın çevresindeki (tartışma ve arkadaşlık için bir araya gelen bir grup) Oratory Cemaati’ne katıldı; bu cemaat, Paris’in önde gelen matematikçileri ve bilim adamlarının birçoğuyla doluydu. Orada, gençliğinde Leibniz’e ders vermiş ve zaten bir matematik dehası olarak kabul edilen Jakob Bernoulli’nin daha genç ve daha huysuz kardeşi Johann Bernoulli ile tanıştı. L’Hôpital, Bernoulli’nin en hevesli öğrencisiydi ve kısa süre sonra ona özel ders vermesi için para ödedi.

L’Hôpital, Bernoulli’nin kendisine verdiği kurstan bir problem çözümü sundu ve bunun kendisine ait olmadığını söylemedi. Anlaşılabilir bir şekilde, aksini gösteren hiçbir kanıt olmamasına rağmen, Huygens L’Hôpital’in bunu yaptığını varsaydı. Bernoulli öfkelendi ve L’Hôpital ile sık sık yaptığı mektuplaşmaları altı ay boyunca kesti – ancak L’Hôpital kendisinden üç yüz poundluk (ve artan) bir avans karşılığında daha fazla “keşif” istediğinde sessizliğini bozdu. Öğretmeninden ayrıca buluşları ve dersleri için kendisine özel haklar vermesini istedi. Bernoulli, L’Hôpital isterse hayatında bir daha hiçbir şey yayınlamayacağını hemen söyledi.

Bernoulli'nin keşiflerinden ve ders notlarından yararlanan L'Hôpital, ilk kalkülüs ders kitabı olacak olan Analyse de infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes'u (Eğrilerin Anlaşılması İçin Sonsuz Küçük Miktarların Analizi) yayınladı. Bu kitapta, aksi takdirde belirsiz olan limitlerin nasıl değerlendirileceğini ana hatlarıyla açıklıyor:

1. Farkları sonsuz derecede küçük bir miktar olan iki niceliğin birbirleri için kayıtsız olarak alınabileceğini (veya kullanılabileceğini) veya (aynı şey olan) yalnızca sonsuz derecede küçük bir miktar kadar artırılan veya azaltılan bir niceliğin aynı kaldığının düşünülebileceğini kabul edin.

2. Bir eğrinin sonsuz sayıda sonsuz derecede küçük doğru çizginin bir araya gelmesiyle oluştuğunu; ya da (aynı şey olan) her biri sonsuz derecede küçük olan ve eğrinin eğriliğini birbirleriyle yaptıkları açılarla belirleyen sonsuz sayıda kenarı olan bir çokgen olarak düşünülebileceğini kabul edin.

Stewart'ın Calculus: Early Transcendentals kitabının 4.4. Bölümünde açıklandığı gibi, çağdaş kalkülüs ders kitaplarındaki kadar resmi olarak sunulmasa da:

L’Hôpital kuralı olarak (kitapta L’Hospital olarak anılır), onun orijinal ifadesi ve modern yinelemeler kavramsal olarak aynıdır. L’Hôpital sonsuz derecede küçük farklardan bahsettiğinde, bu limitlerin temsiline benzerdir. “Sonsuz derecede küçük doğru çizgiler” fikri, türevin geometrik anlayışını temsil eder ve günümüzdeki türev kavramımızın bir atasıdır. Genel olarak, Bölüm 4.4'te olduğu gibi, L’Hôpital'in orijinal teoremi, belirsiz formların fonksiyonların değişim oranını bularak çözülebileceğini söyler.

Johann Bernoulli'nin sempatizanları, onun soyluların iradesine boyun eğmeye zorlandığını iddia ediyor. Bernoulli'nin başlangıçta mali çaresizlikten dolayı kabul etmesine rağmen, düzenleme Groningen'deki başarılı profesörlüğü boyunca uzun süre devam etti. Bernoulli, L'Hôpital'in kitabının "esasen kendisine ait" olduğunu ancak eski öğrencisinin ölümünden sonra iddia etti. O noktada, Bernoulli'nin itibarı, ağabeyi ile yaşadığı birçok tartışmadan sonra belirsizleşti. O zamanlar, soyluların politikacılar ve avukatlar gibi yüksek mevkili profesyonellerin hizmetleri için ödeme yapması standarttı ve birçok kişi L'Hôpital'i kendi başına yetenekli bir matematikçi olarak görüyordu.

L’Hôpital’in çalışmalarının bütünlüğüne ilişkin erken dönemdeki şüphelerden biri, onun brakistokron problemine (Johann Bernoulli tarafından 1696’da ortaya atılan, en hızlı iniş eğrisiyle ilgili bir problem) getirdiği çözümdü:

Matematikçilerin Çözmeye Davet Edildiği Yeni Problem: Düşey bir düzlemde A ve B gibi iki nokta verilirse, hareketli bir parçacığa, kendi ağırlığı altında alçalarak A noktasından B noktasına en kısa zamanda geçeceği AMB yolunu atayın.

L’Hôpital’in soruya verdiği cevabın kendisine ait olmadığı, muhtemelen hocası Bernoulli’nin cevabı olduğu öne sürüldü.

Sonuç olarak, L’Hôpital, Johann Bernoulli’nin öğretilerini sentezlemede yetenekliydi ve hızla gelişen kalkülüs alanında önemli bir eser yayınladı, bu da gelişmeleri muazzam bir kitleye erişilebilir hale getirdi. Ancak, eseri akademik dürüstlüğün güncel standartlarına uymayacaktı ve meslektaşlarının gerçek yeniliği olmadan on yedinci yüzyıl Fransa’sında akademik bir ünlü olmak için mali durumunu kötüye kullandığı söylenebilirdi.

References

“Acta Eruditorum. 1696.” Internet Archive, Lipsiae : Apud J. Grossium et J.F. Gletitschium, 1 Jan. 1696, archive.org/details/s1id13206630.

Katz, Victor J. A History of Mathematics. 3rd ed., Pearson Education Limited, 2014.

L’Hospital, Guillaume François Antoine De, and M. Varignon. Analyse Des Infiniments Pettits, Pour l’intelligence Des Lignes Courbes. ALL-Éditions, 1988.

O’Connor, J J, and E F Robertson. “Guillaume François Antoine Marquis de L’Hôpital.” Maths History, University of St. Andrews School of Mathematics and Statistics, Dec. 2008, mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/De_LHopital/.

Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. Vol. 8.