ต้นกำเนิดของกฎของโลปิตาล

กีโยม โลปิตาล มาร์ควิส เดอ แซ็งต์เมสม์ กงต์ เดอ อองเทรอมองต์ และ แซ็งต์เมสม์ ผู้ปกครองเมือง และผู้ปกครองเมือง หรือที่รู้จักกันทั่วไปในชื่อ กีโยม โลปิตาล เกิดเมื่อปี ค.ศ. 1661 ในปารีสในครอบครัวที่มีประวัติทางการทหารที่เข้มแข็ง อย่างไรก็ตาม เขาหลงใหลในคณิตศาสตร์ตั้งแต่ยังเด็ก แม้จะขัดต่อความต้องการของครอบครัวและความคิดเห็นที่แพร่หลายเกี่ยวกับชนชั้นสูงในฝรั่งเศส ในระหว่างที่รับราชการทหาร เขาแสร้งทำเป็นพักผ่อนในเต็นท์และเรียนเรขาคณิตแทน เบอร์นาร์ด เดอ ฟงเตอแนล เขียนถึงเขาในคำไว้อาลัยโลปิตาลว่า:

เพราะต้องยอมรับว่าแม้ว่าประชาชาติฝรั่งเศสจะมีมารยาทดีไม่แพ้ชาติอื่น แต่ก็ยังมีความป่าเถื่อนแบบหนึ่งที่สงสัยว่าวิทยาศาสตร์ที่ศึกษามาจนถึงจุดหนึ่งนั้นเข้ากันไม่ได้กับความเป็นผู้ดีหรือไม่ และการไม่รู้อะไรเลยนั้นย่อมเป็นผู้สูงส่งกว่าหรือไม่ … ฉันเคยพบเห็นผู้ที่เคยรับใช้ในช่วงเวลาเดียวกันบางคนด้วยความประหลาดใจอย่างยิ่งที่ชายผู้ดำเนินชีวิตเช่นเดียวกับพวกเขากลับกลายเป็นนักคณิตศาสตร์ชั้นนำคนหนึ่งในยุโรป

ลอปิตาลออกจากกองทัพฝรั่งเศสเนื่องจากมีปัญหาทางสายตา แม้ว่าจะมีข่าวลือว่าเขาต้องการเรียนคณิตศาสตร์แบบเต็มเวลาเท่านั้น ในตอนนี้เขาอายุ 24 ปีแล้ว และเข้าร่วมกลุ่มนักบวชในวงสนทนาของนิโกลัส มาเลบรานช์ (กลุ่มที่รวมตัวกันเพื่ออภิปรายและแลกเปลี่ยนความคิดเห็น) ซึ่งมีนักคณิตศาสตร์และนักวิทยาศาสตร์ชั้นนำหลายคนในปารีสเข้าร่วมอยู่ด้วย ที่นั่น เขาได้พบกับโยฮันน์ เบอร์นูลลี น้องชายที่ขี้งกของจาค็อบ เบอร์นูลลี ซึ่งเคยสอนไลบนิซในวัยหนุ่มและถือเป็นอัจฉริยะทางคณิตศาสตร์แล้ว ลอปิตาลเป็นลูกศิษย์ที่กระตือรือร้นที่สุดของเบอร์นูลลี และในไม่ช้าก็จ่ายเงินให้เขาสอนพิเศษแทน

ลอปิตาลได้เสนอวิธีแก้ปัญหาจากหลักสูตรที่เบอร์นูลลีสอนให้คริสเตียน ฮอยเคินส์โดยไม่บอกว่าหลักสูตรนั้นไม่ใช่ของเขาเอง เข้าใจได้ว่าเนื่องจากไม่มีหลักฐานยืนยันเป็นอย่างอื่น ฮอยเคินส์จึงสันนิษฐานว่าลอปิตาลเป็นคนทำ ลอปิตาลโกรธมากและหยุดเขียนจดหมายโต้ตอบกับลอปิตาลเป็นประจำนานถึงหกเดือน แต่หยุดนิ่งเมื่อลอปิตาลขอให้เขา "ค้นพบ" เพิ่มเติมด้วยค่าจ้างสามร้อยปอนด์ (และเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ) เขาขอให้อาจารย์ให้สิทธิ์พิเศษแก่เขาในการอ่านผลงานที่ประสบความสำเร็จและการบรรยายของเขาด้วย ลอปิตาลตอบอย่างรวดเร็วว่าเขาจะไม่ตีพิมพ์อะไรในชีวิตอีกหากลอปิตาลต้องการ

จากการค้นพบของแบร์นูลลีและบันทึกจากการบรรยายของเขา L’Hôpital ได้ตีพิมพ์สิ่งที่จะกลายมาเป็นตำราแคลคูลัสเล่มแรก ชื่อว่า Analyse de infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes (การวิเคราะห์ปริมาณที่น้อยไม่สิ้นสุดเพื่อความเข้าใจเกี่ยวกับเส้นโค้ง) ในหนังสือดังกล่าว เขาได้สรุปแนวทางในการประเมินขีดจำกัดที่ไม่แน่นอนไว้ดังนี้

1. ยอมรับว่าปริมาณสองปริมาณซึ่งความแตกต่างเป็นปริมาณที่น้อยมากนั้น สามารถนำมา (หรือใช้) ได้อย่างไม่แตกต่างกันสำหรับกันและกัน หรือ (ซึ่งเป็นสิ่งเดียวกัน) ปริมาณที่เพิ่มขึ้นหรือลดลงเพียงปริมาณที่น้อยมากนั้นอาจถือได้ว่ายังคงเท่าเดิม

2. ให้ถือว่าเส้นโค้งนั้นอาจพิจารณาได้จากการรวมตัวของเส้นตรงเล็กๆ จำนวนมากมายนับไม่ถ้วน หรือ (ซึ่งเป็นสิ่งเดียวกัน) เป็นรูปหลายเหลี่ยมที่มีด้านจำนวนนับไม่ถ้วน ซึ่งแต่ละด้านมีขนาดเล็กนับไม่ถ้วน โดยกำหนดความโค้งของเส้นโค้งโดยพิจารณาจากมุมที่พวกมันสร้างซึ่งกันและกัน

แม้ว่าจะไม่ได้นำเสนออย่างเป็นทางการเหมือนในตำราแคลคูลัสร่วมสมัย เช่นในส่วนที่ 4.4 ของ Stewart’s Calculus: Early Transcendentals ซึ่งอธิบายว่า:

ตามกฎของโลปิตาล (ซึ่งอ้างในหนังสือว่าโลปิตาล) คำกล่าวเดิมของเขาและรูปแบบสมัยใหม่นั้นเหมือนกันในเชิงแนวคิด เมื่อโลปิตาลพูดถึงความแตกต่างที่เล็กอย่างไม่มีที่สิ้นสุด สิ่งนี้เปรียบได้กับการแสดงขอบเขต แนวคิดเรื่อง "เส้นตรงที่เล็กอย่างไม่มีที่สิ้นสุด" แสดงถึงความเข้าใจเชิงเรขาคณิตของการหาอนุพันธ์ และเป็นบรรพบุรุษของแนวคิดปัจจุบันของเราเกี่ยวกับอนุพันธ์ โดยรวมแล้ว เช่นเดียวกับในส่วนที่ 4.4 ทฤษฎีบทเดิมของโลปิตาลกล่าวว่ารูปแบบที่ไม่แน่นอนสามารถแก้ไขได้โดยการหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน

ผู้เห็นใจโยฮันน์ เบอร์นูลลีอ้างว่าเขาถูกบังคับให้ยอมจำนนต่อเจตนารมณ์ของขุนนาง แม้ว่าเบอร์นูลลีจะตกลงในตอนแรกด้วยความสิ้นหวังทางการเงิน แต่ข้อตกลงดังกล่าวก็ยังคงดำเนินต่อไปจนกระทั่งเขาประสบความสำเร็จในตำแหน่งศาสตราจารย์ที่โกรนิงเงน เบอร์นูลลีอ้างว่าหนังสือของโลปิตาลเป็น "ของเขาโดยพื้นฐาน" หลังจากอดีตลูกศิษย์ของเขาเสียชีวิตเท่านั้น ในช่วงเวลานั้น ชื่อเสียงของเบอร์นูลลีก็มัวหมองลงหลังจากทะเลาะกับพี่ชายหลายครั้ง ในเวลานั้น เป็นเรื่องปกติที่ขุนนางจะต้องจ่ายเงินเพื่อรับบริการจากผู้เชี่ยวชาญที่มีอำนาจ เช่น นักการเมืองและทนายความ และหลายคนมองว่าโลปิตาลเป็นนักคณิตศาสตร์ที่มีความสามารถในแบบฉบับของตนเอง

จุดเริ่มแรกของความสงสัยในความสมบูรณ์ของงานของ L’Hôpital ก็คือวิธีแก้ไขปัญหา brachistochrone (เสนอโดย Johann Bernoulli ในปี 1696 ซึ่งเป็นปัญหาเกี่ยวกับเส้นโค้งของการลงจอดที่เร็วที่สุด):

ปัญหาใหม่ที่นักคณิตศาสตร์ได้รับเชิญให้แก้ไข: หากกำหนดจุด A และ B สองจุดในระนาบแนวตั้ง ให้กำหนดเส้นทาง AMB ให้กับอนุภาคเคลื่อนที่ M ซึ่งเคลื่อนที่ไปตามเส้นทางดังกล่าว โดยเคลื่อนลงภายใต้น้ำหนักของมันเอง และผ่านจากจุด A ไปยังจุด B ในเวลาที่สั้นที่สุด

มีผู้เสนอแนะว่าคำตอบของโลปิตาลต่อคำถามนี้ไม่ใช่คำตอบของเขาเอง แต่อาจเป็นคำตอบของเบอร์นูลลี อาจารย์ของเขาเอง

ในที่สุด ลอปิตาลก็เชี่ยวชาญในการสังเคราะห์คำสอนของโยฮันน์ แบร์นูลลี และตีพิมพ์ผลงานสำคัญในสาขาแคลคูลัสที่กำลังพัฒนาอย่างรวดเร็ว ซึ่งทำให้การพัฒนาต่างๆ เข้าถึงผู้คนจำนวนมากได้ อย่างไรก็ตาม ผลงานของเขาไม่สามารถเทียบได้กับมาตรฐานความซื่อสัตย์ทางวิชาการในปัจจุบัน และอาจกล่าวได้ว่าเขาใช้สถานะทางการเงินในทางที่ผิดเพื่อเป็นคนดังในวงการวิชาการในฝรั่งเศสในศตวรรษที่ 17 โดยปราศจากนวัตกรรมที่แท้จริงจากเพื่อนร่วมงาน

References

“Acta Eruditorum. 1696.” Internet Archive, Lipsiae : Apud J. Grossium et J.F. Gletitschium, 1 Jan. 1696, archive.org/details/s1id13206630.

Katz, Victor J. A History of Mathematics. 3rd ed., Pearson Education Limited, 2014.

L’Hospital, Guillaume François Antoine De, and M. Varignon. Analyse Des Infiniments Pettits, Pour l’intelligence Des Lignes Courbes. ALL-Éditions, 1988.

O’Connor, J J, and E F Robertson. “Guillaume François Antoine Marquis de L’Hôpital.” Maths History, University of St. Andrews School of Mathematics and Statistics, Dec. 2008, mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/De_LHopital/.

Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. Vol. 8.