Ursprunget till L'Hôpitals regel

Guillaume-François-Antoine Marquis de l’Hôpital, Marquis de Sainte-Mesme, Comte d’Entremont et Seigneur d’Ouques-la-Chaise, populärt känd som Guillaume L’Hôpital, föddes 1661 i Paris i en familj med ett mäktigt militärt arv. Men mot sin familjs önskemål och den utbredda uppfattningen om adeln i Frankrike, var han passionerad för matematik från en ung ålder. Under sin militärtjänst låtsades han vila i sitt tält och studerade istället geometri. Bernard de Fontenelle skrev om honom i hans lovtal av L'Hôpital:

Ty det måste erkännas att den franska nationen, även om den är lika väluppfostrad som alla andra, fortfarande befinner sig i den sortens barbari, genom vilken den undrar huruvida vetenskaperna, tagna till en viss punkt, är oförenliga med adeln, och om det inte är ädlare att ingenting veta. … Jag har personligen sett några av dem som tjänstgjorde samtidigt, mycket förvånade över att en man som levde som dem var en av de ledande matematikerna i Europa.

L'Hôpital lämnade den franska armén på grund av en synnedsättning, även om det ryktades att han helt enkelt ville ägna sig åt matematik på heltid. Nu tjugofyra deltog han i Oratoriekongregationen i Nicolas Malebranches krets (en grupp som samlas för diskussion och gemenskap) som befolkades av många av de ledande matematikerna och vetenskapsmännen i Paris. Där träffade han Johann Bernoulli, den yngre och mer petiga brodern till Jakob Bernoulli, som hade undervisat Leibniz i sin ungdom och redan ansågs vara ett matematiskt geni. L’Hôpital var Bernoullis mest entusiastiska student och betalade honom snart för att istället undervisa honom privat.

L’Hôpital lämnade in en problemlösning från kursen Bernoulli hade gett honom till Christiaan Huygens utan att säga att den inte var hans egen. Förståeligt nog, utan några bevis för motsatsen, antog Huygens att L'Hôpital hade gjort det. Bernoulli var arg och avbröt sin frekventa brevkorrespondens med L'Hôpital i sex månader - men bröt sin tystnad när L'Hôpital bad honom om fler "upptäckter" på en trehundra punds (och ökande) hållare. Han bad sin handledare att också ge honom exklusiva rättigheter till hans genombrott och föreläsningar. Bernoulli svarade snabbt att han inte skulle publicera något igen i sitt liv om L'Hôpital så önskade.

Med utgångspunkt i Bernoullis upptäckter och anteckningar från hans föreläsningar publicerade L'Hôpital vad som skulle bli den första calculus-läroboken: Analyse de infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes (Analysis of Infinitely Small Quantities for the Understanding of Curves.) I den skisserar han begränsningar på annat sätt:

1. Bevilja att två kvantiteter, vars skillnad är en oändligt liten kvantitet, kan tas (eller användas) likgiltigt för varandra; eller (vilket är samma sak) att en kvantitet som endast ökas eller minskas med en oändligt liten kvantitet kan anses förbli densamma.

2. Medge att en kurva kan betraktas som en sammansättning av ett oändligt antal oändligt små räta linjer; eller (vilket är samma sak) som en polygon med ett oändligt antal sidor, var och en oändligt liten, som bestämmer kurvans krökning genom de vinklar de gör med varandra.

Även om det inte presenteras så formellt som i samtida kalkylböcker, som i avsnitt 4.4 i Stewarts Calculus: Early Transcendentals, som beskriver:

som regeln för L'Hôpital (citerad i boken som L'Hospital) är hans ursprungliga uttalande och de moderna iterationerna begreppsmässigt identiska. När L’Hôpital talar om oändligt små skillnader är detta analogt med representationen av gränser. Idén om "oändligt små räta linjer" representerar den geometriska förståelsen av differentiering och är en förfader till vårt nuvarande koncept av derivata. Sammantaget, som i avsnitt 4.4., säger L’Hôpitals ursprungliga teorem att obestämda former kan lösas genom att hitta funktionernas förändringshastighet.

Sympatisörer av Johann Bernoulli hävdar att han tvingades underkasta sig adelns vilja. Trots Bernoullis första överenskommelse av ekonomisk desperation fortsatte arrangemanget långt in i hans framgångsrika professur i Groningen. Bernoulli hävdade att L'Hôpitals bok var "i huvudsak hans" först efter hans tidigare elevs död. Vid den tidpunkten var Bernoullis rykte grumligt efter flera bråk med sin äldre bror. På den tiden var det standard för adeln att betala för tjänster från kraftfulla yrkesverksamma som politiker och advokater, och många betraktade L’Hôpital som en kompetent matematiker i sin egen rätt.

En tidig tvivel i integriteten av L'Hôpitals arbete var hans lösning på brachistochrone-problemet (som ställdes av Johann Bernoulli 1696, ett problem om kurvan för snabbaste härkomst):

Nytt problem som matematiker är inbjudna att lösa: Om två punkter A och B ges i ett vertikalplan, att tilldela en rörlig partikel M vägen AMB längs vilken den, sjunkande under sin egen vikt, passerar från punkt A till punkt B på kortast tid.

Det föreslogs att L’Hôpitals svar på frågan inte var hans eget, förmodligen hans lärare Bernoullis själv.

I slutändan var L'Hôpital skicklig på att syntetisera Johann Bernoullis läror och publicerade ett väsentligt opus inom det snabbt växande området kalkyl, vilket gjorde utvecklingen tillgänglig för en enorm publik. Men hans arbete skulle inte hålla upp till nuvarande standarder för akademisk integritet, och det kan sägas att han missbrukade sin ekonomiska ställning för att bli en akademisk kändis i 1600-talets Frankrike utan den genuina innovationen från sina kamrater.

References

“Acta Eruditorum. 1696.” Internet Archive, Lipsiae : Apud J. Grossium et J.F. Gletitschium, 1 Jan. 1696, archive.org/details/s1id13206630.

Katz, Victor J. A History of Mathematics. 3rd ed., Pearson Education Limited, 2014.

L’Hospital, Guillaume François Antoine De, and M. Varignon. Analyse Des Infiniments Pettits, Pour l’intelligence Des Lignes Courbes. ALL-Éditions, 1988.

O’Connor, J J, and E F Robertson. “Guillaume François Antoine Marquis de L’Hôpital.” Maths History, University of St. Andrews School of Mathematics and Statistics, Dec. 2008, mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/De_LHopital/.

Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. Vol. 8.