Истоки правила Лопиталя

Гийом-Франсуа-Антуан Маркиз де л’Опиталь, маркиз де Сент-Месм, граф д’Энтремон и сеньор д’Ук-ла-Шез, более известный как Гийом Л’Опиталь, родился в 1661 году в Париже в семье с сильным военным наследием. Однако, вопреки желанию своей семьи и широко распространенному восприятию дворянства во Франции, он с юных лет увлекался математикой. Во время своей военной службы он делал вид, что отдыхает в своей палатке, а вместо этого изучал геометрию. Бернар де Фонтенель написал о нем в своей хвалебной речи Л’Опиталю:

Ибо следует признать, что французская нация, хотя и столь же благовоспитанная, как и любая другая, все еще находится в том варварстве, когда она задается вопросом, несовместимы ли науки, доведенные до определенной степени, с благородством, и не благороднее ли ничего не знать. … Я лично видел некоторых из тех, кто служил в то же время, весьма удивленных тем, что человек, живший так же, как они, был одним из ведущих математиков в Европе.

Лопиталь покинул французскую армию из-за проблем со зрением, хотя ходили слухи, что он просто хотел заниматься математикой на постоянной основе. Теперь, в возрасте двадцати четырех лет, он посещал Конгрегацию оратория в кружке Николя Мальбранша (группа, которая собирается для дискуссий и общения), в которой состояли многие ведущие математики и ученые Парижа. Там он встретил Иоганна Бернулли, младшего и более капризного брата Якоба Бернулли, который учил Лейбница в юности и уже считался математическим гением. Лопиталь был самым восторженным учеником Бернулли и вскоре вместо этого заплатил ему за частное обучение.

Лопиталь представил решение задачи из курса, который ему дал Бернулли, Христиану Гюйгенсу, не сказав, что это не его собственное решение. Понятно, что, не имея доказательств обратного, Гюйгенс предположил, что это сделал Лопиталь. Бернулли был зол и прервал свою частую переписку с Лопиталем на шесть месяцев, но нарушил свое молчание, как только Лопиталь попросил его о большем «открытии» за гонорар в триста фунтов (и увеличивающийся). Он попросил своего наставника также предоставить ему исключительные права на его прорывы и лекции. Бернулли быстро ответил, что он больше ничего не опубликует в своей жизни, если Лопиталь этого пожелает.

Опираясь на открытия Бернулли и заметки из его лекций, Лопиталь опубликовал то, что стало первым учебником по исчислению: «Анализ бесконечно малых величин для понимания кривых». В нем он описывает, как оценивать пределы, которые иначе не были бы определены:

1. Допустим, что две величины, разность которых составляет бесконечно малую величину, могут быть приняты (или использованы) безразлично друг для друга; или (что одно и то же) что величина, которая увеличивается или уменьшается только на бесконечно малую величину, может рассматриваться как остающаяся той же самой.

2. Допустим, что кривую можно рассматривать как совокупность бесконечного числа бесконечно малых прямых линий или (что то же самое) как многоугольник с бесконечным числом сторон, каждая из которых бесконечно мала, которые определяют кривизну кривой углами, которые они образуют друг с другом.

Хотя это и не представлено столь формально, как в современных учебниках по исчислению, например, в разделе 4.4 книги Стюарта «Исчисление: ранние трансцендентали», в которой описывается:

как правило Лопиталя (цитируемое в книге как Лопиталь), его первоначальное утверждение и современные итерации концептуально идентичны. Когда Лопиталь говорит о бесконечно малых различиях, это аналогично представлению пределов. Идея «бесконечно малых прямых» представляет геометрическое понимание дифференциации и является предком нашей современной концепции производной. В целом, как и в разделе 4.4., исходная теорема Лопиталя гласит, что неопределенные формы могут быть решены путем нахождения скорости изменения функций.

Сторонники Иоганна Бернулли утверждают, что его принудили подчиниться воле дворянства. Несмотря на первоначальное согласие Бернулли из-за финансового отчаяния, эта договоренность продолжалась долгое время его успешной профессорской деятельности в Гронингене. Бернулли утверждал, что книга Лопиталя была «по сути его» только после смерти его бывшего студента. В тот момент репутация Бернулли была мрачной после многочисленных ссор со старшим братом. В то время для дворян было нормой платить за услуги высокопоставленных профессионалов, таких как политики и юристы, и многие считали Лопиталя компетентным математиком по праву.

Одним из первых сомнений в целостности работы Лопиталя было его решение задачи о брахистохроне (поставленной Иоганном Бернулли в 1696 году, задачи о кривой наискорейшего спуска):

Новая задача, которую предлагается решить математикам: если на вертикальной плоскости даны две точки А и В, то определить подвижной частице М путь АМВ, по которому она, спускаясь под действием собственного веса, перейдет из точки А в точку В за кратчайшее время.

Было высказано предположение, что ответ Лопиталя на этот вопрос не был его собственным, а, вероятно, ответом его учителя Бернулли.

В конечном счете, Лопиталь был искусен в синтезе учений Иоганна Бернулли и опубликовал важный опус в быстро развивающейся области исчисления, что сделало разработки доступными для огромной аудитории. Однако его работа не соответствовала бы современным стандартам академической честности, и можно сказать, что он злоупотребил своим финансовым положением, чтобы стать академической знаменитостью во Франции семнадцатого века без подлинного новаторства своих коллег.

References

“Acta Eruditorum. 1696.” Internet Archive, Lipsiae : Apud J. Grossium et J.F. Gletitschium, 1 Jan. 1696, archive.org/details/s1id13206630.

Katz, Victor J. A History of Mathematics. 3rd ed., Pearson Education Limited, 2014.

L’Hospital, Guillaume François Antoine De, and M. Varignon. Analyse Des Infiniments Pettits, Pour l’intelligence Des Lignes Courbes. ALL-Éditions, 1988.

O’Connor, J J, and E F Robertson. “Guillaume François Antoine Marquis de L’Hôpital.” Maths History, University of St. Andrews School of Mathematics and Statistics, Dec. 2008, mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/De_LHopital/.

Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. Vol. 8.