Originile regulii L’Hôpital

Guillaume-François-Antoine Marchiz de l’Hôpital, Marchiz de Sainte-Mesme, Comte d’Entremont et Seigneur d’Ouques-la-Chaise, cunoscut popular sub numele de Guillaume L’Hôpital, s-a născut în 1661 la Paris într-o familie cu o puternică moștenire militară. Cu toate acestea, împotriva dorințelor familiei sale și a percepției larg răspândite asupra nobilimii în Franța, a fost pasionat de matematică încă de la o vârstă fragedă. În timpul serviciului militar, s-a prefăcut că se odihnește în cortul său și a studiat în schimb geometria. Bernard de Fontenelle a scris despre el în elogiul său de la L’Hôpital:

Căci trebuie să recunoaștem că națiunea franceză, deși la fel de bine manierată ca oricare alta, se află încă în acel fel de barbarie prin care se întreabă dacă științele, duse până la un anumit punct, sunt incompatibile cu nobilimea și dacă nu este mai nobil să nu știi nimic. … I-am văzut personal pe câțiva dintre cei care au slujit în același timp, foarte uimiți că un om care a trăit ca ei a fost unul dintre matematicienii de frunte din Europa.

L’Hôpital a părăsit armata franceză din cauza unei deficiențe de vedere, deși s-a zvonit că pur și simplu a vrut să urmeze matematică cu normă întreagă. Acum în vârstă de douăzeci și patru de ani, a participat la Congregația Oratoriei din cercul lui Nicolas Malebranche (un grup care se adună pentru discuții și părtășie), care a fost populat de mulți dintre matematicienii și oamenii de știință de seamă din Paris. Acolo, l-a cunoscut pe Johann Bernoulli, fratele mai mic și mai petulant al lui Jakob Bernoulli, care îl predase pe Leibniz în tinerețe și era deja considerat un geniu matematic. L’Hôpital a fost cel mai entuziast student al lui Bernoulli și, în curând, l-a plătit să-l îndrume în mod privat.

L’Hôpital i-a prezentat lui Christiaan Huygens o soluție de problemă din cursul pe care i-o dăduse Bernoulli, fără să spună că nu era a lui. De înțeles, fără nicio dovadă contrarie, Huygens a presupus că L’Hôpital a făcut-o. Bernoulli a fost supărat și și-a întrerupt corespondența frecventă cu L’Hôpital timp de șase luni – dar și-a rupt tăcerea odată ce L’Hôpital i-a cerut mai multe „descoperiri” pe o sumă de trei sute de lire (și în creștere). Și-a cerut profesorului său să-i acorde și drepturi exclusive asupra descoperirilor și prelegerilor sale. Bernoulli a răspuns rapid că nu ar mai publica nimic în viața lui dacă L’Hôpital ar dori.

Pornind din descoperirile lui Bernoulli și din notițele din prelegerile sale, L’Hôpital a publicat ceea ce va deveni primul manual de calcul: Analyse de infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes (Analysis of Infinitely Small Cantities for the Understanding of Curves).

1. Acordați că două cantități, a căror diferență este o cantitate infinit de mică, pot fi luate (sau utilizate) indiferent una pentru cealaltă; sau (care este același lucru) că o cantitate care este crescută sau micșorată doar cu o cantitate infinit de mică poate fi considerată ca fiind aceeași.

2. Acordați că o curbă poate fi considerată ca asamblarea unui număr infinit de linii drepte infinit de mici; sau (care este același lucru) ca un poligon cu un număr infinit de laturi, fiecare infinit de mici, care determină curbura curbei prin unghiurile pe care le formează între ele.

Deși nu este prezentat la fel de formal ca în manualele de calcul contemporane, ca în Secțiunea 4.4 din Calcul lui Stewart: Transcendentale timpurii, care descrie:

ca regula lui L’Hôpital (citată în carte ca L’Hospital), afirmația sa originală și iterațiile moderne sunt identice din punct de vedere conceptual. Când L’Hôpital vorbește despre diferențe infinit de mici, aceasta este analogă cu reprezentarea limitelor. Ideea de „linii drepte infinit de mici” reprezintă înțelegerea geometrică a diferențierii și este un strămoș al conceptului nostru actual de derivată. În general, ca și în Secțiunea 4.4., teorema originală a lui L’Hôpital spune că formele nedefinite pot fi rezolvate prin găsirea ratei de schimbare a funcțiilor.

Simpatizanții lui Johann Bernoulli susțin că a fost forțat să se supună voinței nobilimii. În ciuda acordului inițial al lui Bernoulli din disperarea financiară, aranjamentul a continuat mult timp până la profesorul său de succes la Groningen. Bernoulli a susținut că cartea lui L’Hôpital era „în esență a lui” numai după moartea fostului său student. În acel moment, reputația lui Bernoulli era tulbure după mai multe rânduri cu fratele său mai mare. La acea vreme, era standard ca nobilimea să plătească pentru servicii de la profesioniști de mare putere, cum ar fi politicieni și avocați, iar mulți îl considerau pe L’Hôpital drept un matematician competent în sine.

Un punct de îndoială timpuriu în integritatea lucrării lui L’Hôpital a fost soluția sa la problema brahistocronului (prezentată de Johann Bernoulli în 1696, o problemă despre curba coborârii celei mai rapide):

Problemă nouă pe care matematicienii sunt invitați să o rezolve: Dacă două puncte A și B sunt date într-un plan vertical, să atribuiți unei particule mobile M calea AMB de-a lungul căreia, coborând sub propria greutate, trece de la punctul A la punctul B în cel mai scurt timp.

S-a sugerat că răspunsul lui L’Hôpital la întrebare nu a fost al lui, probabil al profesorului său Bernoulli însuși.

În cele din urmă, L’Hôpital a fost priceput să sintetizeze învățăturile lui Johann Bernoulli și a publicat o operă esențială în domeniul calculului, care se dezvolta rapid, care a făcut dezvoltările accesibile unui public enorm. Cu toate acestea, munca sa nu s-ar ține la standardele actuale de integritate academică și s-ar putea spune că a abuzat de poziția sa financiară pentru a deveni o celebritate academică în Franța secolului al XVII-lea fără inovația autentică a colegilor săi.

References

“Acta Eruditorum. 1696.” Internet Archive, Lipsiae : Apud J. Grossium et J.F. Gletitschium, 1 Jan. 1696, archive.org/details/s1id13206630.

Katz, Victor J. A History of Mathematics. 3rd ed., Pearson Education Limited, 2014.

L’Hospital, Guillaume François Antoine De, and M. Varignon. Analyse Des Infiniments Pettits, Pour l’intelligence Des Lignes Courbes. ALL-Éditions, 1988.

O’Connor, J J, and E F Robertson. “Guillaume François Antoine Marquis de L’Hôpital.” Maths History, University of St. Andrews School of Mathematics and Statistics, Dec. 2008, mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/De_LHopital/.

Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. Vol. 8.