Origens da Regra de L'Hôpital

Guillaume-François-Antoine, Marquês de l'Hôpital, Marquês de Sainte-Mesme, Conde d'Entremont e Senhor d'Ouques-la-Chaise, conhecido popularmente como Guillaume L'Hôpital, nasceu em 1661 em Paris, em uma família com um poderoso legado militar. No entanto, contra a vontade de sua família e a percepção generalizada de nobreza na França, ele se apaixonou por matemática desde jovem. Durante o serviço militar, fingiu descansar em sua tenda e, em vez disso, estudou geometria. Bernard de Fontenelle escreveu sobre ele em seu elogio a L'Hôpital:

Pois é preciso admitir que a nação francesa, embora tão bem-educada quanto qualquer outra, ainda está naquele tipo de barbárie que a faz se perguntar se as ciências, levadas até certo ponto, são incompatíveis com a nobreza, e se não é mais nobre não saber nada. … Eu pessoalmente vi alguns dos que serviram na mesma época, muito surpresos que um homem que viveu como eles fosse um dos principais matemáticos da Europa.

L'Hôpital deixou o exército francês devido a uma deficiência visual, embora corressem rumores de que ele simplesmente queria se dedicar à matemática em tempo integral. Aos 24 anos, frequentou a Congregação do Oratório no círculo de Nicolas Malebranche (um grupo que se reúne para debates e confraternização), frequentado por muitos dos principais matemáticos e cientistas de Paris. Lá, conheceu Johann Bernoulli, o irmão mais novo e petulante de Jakob Bernoulli, que havia ensinado Leibniz em sua juventude e já era considerado um gênio da matemática. L'Hôpital foi o aluno mais entusiasmado de Bernoulli e logo o pagou para lhe dar aulas particulares.

L’Hôpital apresentou a Christiaan Huygens uma solução para o problema do curso que Bernoulli lhe dera, sem dizer que não era sua. Compreensivelmente, sem nenhuma evidência em contrário, Huygens presumiu que L’Hôpital o havia feito. Bernoulli ficou furioso e interrompeu sua frequente correspondência com L’Hôpital por seis meses – mas rompeu o silêncio quando L’Hôpital lhe pediu mais "descobertas" por uma taxa de trezentas libras (e crescente). Ele pediu ao seu tutor que também lhe concedesse direitos exclusivos sobre suas descobertas e palestras. Bernoulli respondeu rapidamente que não publicaria mais nada em vida se L’Hôpital desejasse.

Com base nas descobertas de Bernoulli e nas notas de suas palestras, L'Hôpital publicou o que se tornaria o primeiro livro didático de cálculo: Analyse de infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (Análise de quantidades infinitamente pequenas para a compreensão de curvas). Nele, ele descreve como avaliar limites que de outra forma seriam indeterminados:

1. Admita que duas grandezas, cuja diferença é uma grandeza infinitamente pequena, podem ser tomadas (ou usadas) indiferentemente uma para a outra; ou (o que é a mesma coisa) que uma grandeza que é aumentada ou diminuída somente por uma grandeza infinitamente pequena pode ser considerada como permanecendo a mesma.

2. Admita que uma curva pode ser considerada como o conjunto de um número infinito de linhas retas infinitamente pequenas; ou (o que é a mesma coisa) como um polígono de um número infinito de lados, cada um infinitamente pequeno, que determinam a curvatura da curva pelos ângulos que eles fazem entre si.

Embora não seja apresentado tão formalmente como nos livros de cálculo contemporâneos, como na Seção 4.4 do livro Cálculo de Stewart: Transcendentais Iniciais, que descreve:

assim como a regra de L'Hôpital (citada no livro como L'Hospital), sua afirmação original e as iterações modernas são conceitualmente idênticas. Quando L'Hôpital fala sobre diferenças infinitamente pequenas, isso é análogo à representação de limites. A ideia de "retas infinitamente pequenas" representa a compreensão geométrica da diferenciação e é ancestral do nosso conceito atual de derivada. De modo geral, como na Seção 4.4, o teorema original de L'Hôpital afirma que formas indefinidas podem ser resolvidas encontrando-se a taxa de variação das funções.

Simpatizantes de Johann Bernoulli afirmam que ele foi coagido a se submeter à vontade da nobreza. Apesar do acordo inicial de Bernoulli, motivado por desespero financeiro, o acordo continuou por muito tempo, mesmo após sua bem-sucedida carreira como professor em Groningen. Bernoulli afirmou que o livro de L'Hôpital era "essencialmente seu" somente após a morte de seu ex-aluno. Àquela altura, a reputação de Bernoulli estava abalada após várias discussões com seu irmão mais velho. Na época, era padrão para a nobreza pagar por serviços de profissionais de alto escalão, como políticos e advogados, e muitos consideravam L'Hôpital um matemático competente por mérito próprio.

Um dos primeiros pontos de dúvida sobre a integridade do trabalho de L'Hôpital foi sua solução para o problema da braquistócrona (proposto por Johann Bernoulli em 1696, um problema sobre a curva de descida mais rápida):

Novo problema que os matemáticos são convidados a resolver: Se dois pontos A e B são dados em um plano vertical, atribuir a uma partícula móvel M a trajetória AMB ao longo da qual, descendo sob seu próprio peso, ela passa do ponto A ao ponto B no menor tempo possível.

Foi sugerido que a resposta de L’Hôpital à pergunta não era sua, provavelmente a do próprio professor Bernoulli.

Em última análise, L’Hôpital era hábil em sintetizar os ensinamentos de Johann Bernoulli e publicou uma obra essencial no campo do cálculo, em rápido desenvolvimento, que tornou seus avanços acessíveis a um público enorme. No entanto, seu trabalho não se manteria nos padrões atuais de integridade acadêmica, e pode-se dizer que ele abusou de sua posição financeira para se tornar uma celebridade acadêmica na França do século XVII sem a inovação genuína de seus pares.

References

“Acta Eruditorum. 1696.” Internet Archive, Lipsiae : Apud J. Grossium et J.F. Gletitschium, 1 Jan. 1696, archive.org/details/s1id13206630.

Katz, Victor J. A History of Mathematics. 3rd ed., Pearson Education Limited, 2014.

L’Hospital, Guillaume François Antoine De, and M. Varignon. Analyse Des Infiniments Pettits, Pour l’intelligence Des Lignes Courbes. ALL-Éditions, 1988.

O’Connor, J J, and E F Robertson. “Guillaume François Antoine Marquis de L’Hôpital.” Maths History, University of St. Andrews School of Mathematics and Statistics, Dec. 2008, mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/De_LHopital/.

Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. Vol. 8.