Geneza reguły L’Hôpitala

Guillaume-François-Antoine Marquis de l’Hôpital, Marquis de Sainte-Mesme, Comte d’Entremont et Seigneur d’Ouques-la-Chaise, znany popularnie jako Guillaume L’Hôpital, urodził się w 1661 roku w Paryżu w rodzinie o silnym dziedzictwie wojskowym. Jednak wbrew woli rodziny i powszechnemu postrzeganiu szlachty we Francji, od najmłodszych lat pasjonował się matematyką. Podczas służby wojskowej udawał, że odpoczywa w swoim namiocie, a zamiast tego studiował geometrię. Bernard de Fontenelle napisał o nim w swojej mowie pochwalnej na cześć L’Hôpital:

Trzeba bowiem przyznać, że naród francuski, choć tak samo dobrze wychowany jak każdy inny, wciąż tkwi w takim barbarzyństwie, że zastanawia się, czy nauki doprowadzone do pewnego punktu są nie do pogodzenia ze szlachectwem i czy nie jest szlachetniej nic nie wiedzieć. … Osobiście widziałem, jak niektórzy z tych, którzy służyli w tym samym czasie, byli wielce zdziwieni, że człowiek, który żył jak oni, był jednym z czołowych matematyków w Europie.

L’Hôpital opuścił armię francuską z powodu upośledzenia wzroku, choć krążyły pogłoski, że chciał po prostu poświęcić się matematyce na pełen etat. Mając wówczas dwadzieścia cztery lata, uczęszczał do Kongregacji Oratorium w kręgu Nicolasa Malebranche’a (grupa, która zbiera się w celu dyskusji i przyjaźni), w której było wielu czołowych matematyków i naukowców Paryża. Tam poznał Johanna Bernoulliego, młodszego i bardziej kapryśnego brata Jakoba Bernoulliego, który uczył Leibniza w młodości i był już uważany za geniusza matematycznego. L’Hôpital był najbardziej entuzjastycznym uczniem Bernoulliego i wkrótce zaczął mu płacić za prywatne korepetycje.

L’Hôpital przedstawił Christiaanowi Huygensowi rozwiązanie zadania z kursu, który dał mu Bernoulli, nie mówiąc, że nie jest jego własne. Zrozumiałe, że bez dowodów na to, że jest inaczej, Huygens założył, że zrobił to L’Hôpital. Bernoulli był zły i przerwał częstą korespondencję listowną z L’Hôpitalem na sześć miesięcy – ale przerwał milczenie, gdy L’Hôpital poprosił go o więcej „odkryć” za trzysta funtów (i rosnącą) zaliczkę. Poprosił swojego nauczyciela, aby przyznał mu również wyłączne prawa do jego przełomów i wykładów. Bernoulli szybko odpowiedział, że nie opublikuje niczego więcej w swoim życiu, jeśli L’Hôpital tego zażyczy.

Opierając się na odkryciach Bernoulliego i notatkach z jego wykładów, L’Hôpital opublikował to, co miało stać się pierwszym podręcznikiem rachunku różniczkowego i całkowego: Analyse de infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes (Analiza nieskończenie małych wielkości w celu zrozumienia krzywych). W książce tej autor przedstawia, w jaki sposób oceniać w innym przypadku nieokreślone granice:

1. Załóżmy, że dwie wielkości, których różnica jest nieskończenie mała, można traktować (lub stosować) obojętnie względem siebie; lub (co na jedno i to samo) załóżmy, że wielkość, która jest zwiększana lub zmniejszana tylko o nieskończenie małą wielkość, można uważać za niezmienną.

2. Załóżmy, że krzywą można uważać za zbiór nieskończonej liczby nieskończenie małych linii prostych; albo (co na jedno wychodzi) za wielokąt o nieskończonej liczbie boków, z których każdy jest nieskończenie mały, a które określają krzywiznę krzywej poprzez kąty, jakie tworzą ze sobą.

Choć nie jest to przedstawione tak formalnie jak we współczesnych podręcznikach rachunku różniczkowego i całkowego, jak w rozdziale 4.4 książki Stewarta „Calculus: Early Transcendentals”, w którym opisano:

zgodnie z regułą L’Hôpitala (cytowaną w książce jako L’Hospital), jego oryginalne stwierdzenie i współczesne iteracje są koncepcyjnie identyczne. Kiedy L’Hôpital mówi o nieskończenie małych różnicach, jest to analogiczne do reprezentacji granic. Idea „nieskończenie małych linii prostych” reprezentuje geometryczne rozumienie różniczkowania i jest przodkiem naszej obecnej koncepcji pochodnej. Ogólnie rzecz biorąc, podobnie jak w rozdziale 4.4., oryginalne twierdzenie L’Hôpitala mówi, że formy nieokreślone można rozwiązać, znajdując tempo zmian funkcji.

Sympatycy Johanna Bernoulliego twierdzą, że został zmuszony do poddania się woli szlachty. Pomimo początkowej zgody Bernoulliego z powodu desperacji finansowej, układ ten trwał długo po jego udanej profesurze w Groningen. Bernoulli twierdził, że książka L’Hôpitala była „w zasadzie jego” dopiero po śmierci jego byłego studenta. W tym momencie reputacja Bernoulliego była niejasna po licznych kłótniach ze starszym bratem. W tamtym czasie standardem dla szlachty było płacenie za usługi wysoko postawionych profesjonalistów, takich jak politycy i prawnicy, a wielu uważało L’Hôpitala za kompetentnego matematyka.

Jednym z pierwszych punktów wątpliwości co do integralności pracy L’Hôpitala było jego rozwiązanie problemu brachistochrony (postawionego przez Johanna Bernoulliego w 1696 r., problemu dotyczącego krzywej najszybszego spadku):

Nowe zadanie, które matematycy mają rozwiązać: Jeśli dane są dwa punkty A i B w płaszczyźnie pionowej, to przypisz ruchomej cząstce M ścieżkę AMB, po której, spadając pod wpływem własnego ciężaru, przebędzie ona drogę z punktu A do punktu B w najkrótszym czasie.

Zasugerowano, że odpowiedź L’Hôpitala na to pytanie nie była jego własną odpowiedzią, lecz prawdopodobnie odpowiedzią jego nauczyciela Bernoulliego.

Ostatecznie L’Hôpital był biegły w syntezie nauk Johanna Bernoulliego i opublikował istotne dzieło w szybko rozwijającej się dziedzinie rachunku różniczkowego i całkowego, co uczyniło rozwój dostępnym dla ogromnej publiczności. Jednak jego praca nie wytrzymałaby obecnych standardów uczciwości akademickiej i można by powiedzieć, że nadużył swojej pozycji finansowej, aby stać się akademicką gwiazdą w siedemnastowiecznej Francji bez autentycznej innowacyjności swoich rówieśników.

References

“Acta Eruditorum. 1696.” Internet Archive, Lipsiae : Apud J. Grossium et J.F. Gletitschium, 1 Jan. 1696, archive.org/details/s1id13206630.

Katz, Victor J. A History of Mathematics. 3rd ed., Pearson Education Limited, 2014.

L’Hospital, Guillaume François Antoine De, and M. Varignon. Analyse Des Infiniments Pettits, Pour l’intelligence Des Lignes Courbes. ALL-Éditions, 1988.

O’Connor, J J, and E F Robertson. “Guillaume François Antoine Marquis de L’Hôpital.” Maths History, University of St. Andrews School of Mathematics and Statistics, Dec. 2008, mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/De_LHopital/.

Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. Vol. 8.