Opprinnelsen til L'Hôpitals regel

Guillaume-François-Antoine Marquis de l’Hôpital, Marquis de Sainte-Mesme, Comte d’Entremont et Seigneur d’Ouques-la-Chaise, populært kjent som Guillaume L’Hôpital, ble født i 1661 i Paris til en familie med en mektig militær arv. Men mot familiens ønsker og den utbredte oppfatningen av adel i Frankrike, var han lidenskapelig opptatt av matematikk fra en ung alder. Under militærtjenesten lot han som om han hvilte i teltet og studerte i stedet geometri. Bernard de Fontenelle skrev om ham i sin lovtale av L'Hôpital:

For det må innrømmes at den franske nasjonen, selv om den er like veloppdragen som enhver annen, fortsatt er i den slags barbari som den lurer på om vitenskapene, tatt til et visst punkt, er uforenlige med adel, og om det ikke er mer edelt å ikke vite noe. … Jeg har personlig sett noen av dem som tjenestegjorde på samme tid, sterkt overrasket over at en mann som levde som dem var en av de ledende matematikerne i Europa.

L'Hôpital forlot den franske hæren på grunn av en synshemming, selv om det ryktes at han bare ønsket å satse på matematikk på heltid. Nå tjuefire deltok han i Oratoriekongregasjonen i Nicolas Malebranches krets (en gruppe som samles for diskusjon og fellesskap) som var befolket av mange av de ledende matematikerne og vitenskapsmennene i Paris. Der møtte han Johann Bernoulli, den yngre og mer frekke broren til Jakob Bernoulli, som hadde undervist Leibniz i sin ungdom og allerede ble ansett som et matematisk geni. L'Hôpital var Bernoullis mest entusiastiske student og betalte ham snart for å veilede ham privat i stedet.

L’Hôpital sendte inn en problemløsning fra kurset Bernoulli hadde gitt ham til Christiaan Huygens uten å si at det ikke var hans eget. Forståelig nok, uten bevis for det motsatte, antok Huygens at L'Hôpital hadde gjort det. Bernoulli var sint og brøt sin hyppige brevkorrespondanse med L'Hôpital i seks måneder - men brøt tausheten sin en gang L'Hôpital ba ham om flere "funn" på en trehundre pund (og økende) beholder. Han ba læreren sin om også å gi ham eksklusive rettigheter til hans gjennombrudd og forelesninger. Bernoulli svarte raskt at han ikke ville publisere noe igjen i livet hvis L'Hôpital ønsket det.

Med utgangspunkt i Bernoullis oppdagelser og notater fra forelesningene hans, publiserte L’Hôpital det som skulle bli den første kalkuluslæreboken: Analyse de infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes (Analyse av uendelig små mengder for forståelse av kurver.) I den skisserer han begrensninger på annet vis:

1. Gi at to mengder, hvis forskjell er en uendelig liten mengde, kan tas (eller brukes) likegyldig for hverandre; eller (som er det samme) at en mengde som bare økes eller reduseres med en uendelig liten mengde kan anses å forbli den samme.

2. Gi at en kurve kan betraktes som en samling av et uendelig antall uendelig små rette linjer; eller (som er det samme) som en polygon med et uendelig antall sider, hver uendelig liten, som bestemmer krumningen til kurven ved vinklene de lager med hverandre.

Selv om det ikke er presentert så formelt som i moderne kalkuluslærebøker, som i avsnitt 4.4 i Stewarts Calculus: Early Transcendentals, som beskriver:

som regelen til L'Hôpital (sitert i boken som L'Hospital), er hans opprinnelige uttalelse og de moderne iterasjonene konseptuelt identiske. Når L’Hôpital snakker om uendelig små forskjeller, er dette analogt med representasjonen av grenser. Ideen om "uendelig små rette linjer" representerer den geometriske forståelsen av differensiering og er en stamfar til vårt nåværende konsept av derivat. Samlet sett, som i avsnitt 4.4., sier L’Hôpitals opprinnelige teorem at ubestemte former kan løses ved å finne funksjonenes endringshastighet.

Sympatisører av Johann Bernoulli hevder at han ble tvunget til å underkaste seg adelens vilje. Til tross for Bernoullis første avtale av økonomisk desperasjon, fortsatte ordningen lenge inn i hans vellykkede professorat i Groningen. Bernoulli hevdet at L'Hôpitals bok var "i hovedsak hans" først etter hans tidligere elevs død. På det tidspunktet var Bernoullis rykte uklart etter flere bråk med sin eldre bror. På den tiden var det standard for adelen å betale for tjenester fra høytstående fagfolk som politikere og advokater, og mange betraktet L’Hôpital som en kompetent matematiker i seg selv.

Et tidlig tvilspunkt i integriteten til L'Hôpitals arbeid var hans løsning på brachistochrone-problemet (stilt av Johann Bernoulli i 1696, et problem om kurven for raskeste nedstigning):

Nytt problem som matematikere er invitert til å løse: Hvis to punkter A og B er gitt i et vertikalplan, for å tilordne en mobil partikkel M banen AMB som den, når den går ned under sin egen vekt, går fra punktet A til punktet B på kortest tid.

Det ble antydet at L’Hôpitals svar på spørsmålet ikke var hans eget, sannsynligvis det til læreren Bernoulli selv.

Til syvende og sist var L'Hôpital dyktig til å syntetisere læren til Johann Bernoulli og publiserte et viktig opus i det raskt utviklende feltet kalkulus, som gjorde utviklingen tilgjengelig for et enormt publikum. Arbeidet hans ville imidlertid ikke holde opp til gjeldende standarder for akademisk integritet, og det kan sies at han misbrukte sin økonomiske posisjon til å bli en akademisk kjendis i det syttende århundres Frankrike uten den genuine innovasjonen fra sine jevnaldrende.

References

“Acta Eruditorum. 1696.” Internet Archive, Lipsiae : Apud J. Grossium et J.F. Gletitschium, 1 Jan. 1696, archive.org/details/s1id13206630.

Katz, Victor J. A History of Mathematics. 3rd ed., Pearson Education Limited, 2014.

L’Hospital, Guillaume François Antoine De, and M. Varignon. Analyse Des Infiniments Pettits, Pour l’intelligence Des Lignes Courbes. ALL-Éditions, 1988.

O’Connor, J J, and E F Robertson. “Guillaume François Antoine Marquis de L’Hôpital.” Maths History, University of St. Andrews School of Mathematics and Statistics, Dec. 2008, mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/De_LHopital/.

Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. Vol. 8.