Oorsprong van de regel van L'Hôpital

Guillaume-François-Antoine Marquis de l’Hôpital, markies de Sainte-Mesme, graaf van Entremont en heer van Ouques-la-Chaise, in de volksmond Guillaume L’Hôpital genoemd, werd in 1661 in Parijs geboren in een familie met een machtige militaire erfenis. Tegen de wil van zijn familie en de wijdverbreide perceptie van adel in Frankrijk in, was hij echter al op jonge leeftijd gepassioneerd door wiskunde. Tijdens zijn militaire dienst deed hij alsof hij in zijn tent rustte en studeerde in plaats daarvan meetkunde. Bernard de Fontenelle schreef over hem in zijn lofrede op L’Hôpital:

Want het moet worden erkend dat de Franse natie, hoewel even welgemanierd als ieder ander, nog steeds in die soort barbarij verkeert waarbij ze zich afvraagt ​​of de wetenschappen, tot op zekere hoogte doorgevoerd, onverenigbaar zijn met adel, en of het niet nobeler is om niets te weten. … Ik heb persoonlijk gezien dat sommigen van hen die in dezelfde tijd dienden, zeer verbaasd waren dat iemand die zoals zij leefde, een van de vooraanstaande wiskundigen van Europa was.

L'Hôpital verliet het Franse leger vanwege een visuele beperking, hoewel er geruchten gingen dat hij zich gewoon fulltime wilde richten op wiskunde. Nu, vierentwintig jaar oud, bezocht hij de Congregatie van het Oratorium in de kring van Nicolas Malebranche (een groep die samenkomt voor discussie en gezelligheid), waar veel van de vooraanstaande wiskundigen en wetenschappers van Parijs samenkwamen. Daar ontmoette hij Johann Bernoulli, de jongere en meer nukkige broer van Jakob Bernoulli, die Leibniz in zijn jeugd had onderwezen en al als een wiskundig genie werd beschouwd. L'Hôpital was Bernoulli's meest enthousiaste leerling en betaalde hem al snel om hem privéles te geven.

L’Hôpital legde Christiaan Huygens een oplossing voor van een probleem uit de cursus die Bernoulli hem had gegeven, zonder te zeggen dat die niet van hem was. Begrijpelijkerwijs, zonder bewijs van het tegendeel, nam Huygens aan dat L’Hôpital het had gedaan. Bernoulli was boos en verbrak zijn frequente briefwisseling met L’Hôpital gedurende zes maanden – maar verbrak zijn stilzwijgen toen L’Hôpital hem vroeg om meer "ontdekkingen" tegen een (en steeds hoger wordend) voorschot van driehonderd pond. Hij vroeg zijn docent hem ook de exclusieve rechten op zijn doorbraken en lezingen te geven. Bernoulli antwoordde snel dat hij in zijn leven niets meer zou publiceren, zelfs niet als L’Hôpital dat wilde.

Op basis van Bernoulli's ontdekkingen en aantekeningen uit zijn colleges publiceerde L'Hôpital wat het eerste calculus-leerboek zou worden: Analyse de infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (Analyse van oneindig kleine hoeveelheden voor het begrijpen van krommen). Hierin schetst hij hoe anders onbepaalde limieten kunnen worden geëvalueerd:

1. Veronderstel dat twee grootheden, waarvan het verschil een oneindig kleine hoeveelheid is, door elkaar gebruikt kunnen worden; of (wat op hetzelfde neerkomt) dat een grootheid die slechts met een oneindig kleine hoeveelheid wordt vergroot of verkleind, als gelijkblijvend kan worden beschouwd.

2. Veronderstel dat een kromme kan worden beschouwd als de samenstelling van een oneindig aantal oneindig kleine rechte lijnen; of (wat hetzelfde is) als een veelhoek met een oneindig aantal zijden, elk oneindig klein, die de kromming van de kromme bepalen door de hoeken die ze ten opzichte van elkaar maken.

Hoewel het niet zo formeel wordt gepresenteerd als in hedendaagse calculus-leerboeken, zoals in sectie 4.4 van Stewart's Calculus: Early Transcendentals, waarin het volgende wordt beschreven:

als de regel van L’Hôpital (in het boek aangehaald als L’Hospital), zijn zijn oorspronkelijke bewering en de moderne iteraties conceptueel identiek. Wanneer L’Hôpital spreekt over oneindig kleine verschillen, is dit analoog aan de representatie van limieten. Het idee van “oneindig kleine rechte lijnen” vertegenwoordigt het geometrische begrip van differentiatie en is een voorloper van ons huidige concept van afgeleide. Over het geheel genomen, zoals in paragraaf 4.4, stelt de oorspronkelijke stelling van L’Hôpital dat onbepaalde vormen kunnen worden opgelost door de veranderingssnelheid van de functies te bepalen.

Sympathisanten van Johann Bernoulli beweren dat hij gedwongen werd zich te onderwerpen aan de wil van de adel. Ondanks Bernoulli's aanvankelijke instemming uit financiële wanhoop, bleef de regeling lang in stand tijdens zijn succesvolle hoogleraarschap in Groningen. Bernoulli beweerde dat het boek van L'Hôpital pas "in wezen van hem" was na de dood van zijn voormalige student. Op dat moment was Bernoulli's reputatie duister na meerdere ruzies met zijn oudere broer. In die tijd was het gebruikelijk dat de adel betaalde voor diensten van hooggeplaatste professionals zoals politici en advocaten, en velen beschouwden L'Hôpital als een bekwame wiskundige.

Een vroeg punt van twijfel over de integriteit van het werk van L’Hôpital was zijn oplossing voor het brachistochrone probleem (opgesteld door Johann Bernoulli in 1696, een probleem over de curve van de snelste afdaling):

Nieuw probleem dat wiskundigen moeten oplossen: Als er twee punten A en B in een verticaal vlak liggen, moet aan een mobiel deeltje M het pad AMB worden toegewezen, waarlangs het, door zijn eigen gewicht naar beneden te dalen, in de kortste tijd van punt A naar punt B gaat.

Er werd gesuggereerd dat het antwoord van L’Hôpital op de vraag niet het zijne was, maar waarschijnlijk dat van zijn leraar Bernoulli zelf.

Uiteindelijk was L'Hôpital bedreven in het synthetiseren van de leer van Johann Bernoulli en publiceerde hij een essentieel werk in het snel ontwikkelende vakgebied van de calculus, waardoor ontwikkelingen toegankelijk werden voor een enorm publiek. Zijn werk voldeed echter niet aan de huidige normen van academische integriteit, en men zou kunnen zeggen dat hij zijn financiële positie misbruikte om een ​​academische beroemdheid te worden in het zeventiende-eeuwse Frankrijk zonder de oprechte innovatie van zijn collega's.

References

“Acta Eruditorum. 1696.” Internet Archive, Lipsiae : Apud J. Grossium et J.F. Gletitschium, 1 Jan. 1696, archive.org/details/s1id13206630.

Katz, Victor J. A History of Mathematics. 3rd ed., Pearson Education Limited, 2014.

L’Hospital, Guillaume François Antoine De, and M. Varignon. Analyse Des Infiniments Pettits, Pour l’intelligence Des Lignes Courbes. ALL-Éditions, 1988.

O’Connor, J J, and E F Robertson. “Guillaume François Antoine Marquis de L’Hôpital.” Maths History, University of St. Andrews School of Mathematics and Statistics, Dec. 2008, mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/De_LHopital/.

Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. Vol. 8.