ロピタルのルールの起源

ギヨーム＝フランソワ＝アントワーヌ・ロピタル侯爵、サント＝メスム侯爵、アントルモン伯爵、そしてウク＝ラ＝シェーズ領主、通称ギヨーム・ロピタルは、1661年パリで、軍歴の長い一家に生まれました。しかし、家族の意向やフランスにおける貴族の一般的な認識に反して、彼は幼い頃から数学に熱中していました。兵役中は、テントで休んでいるふりをして、幾何学を学んでいました。ベルナール・ド・フォントネルは、ロピタル侯爵の弔辞の中で彼についてこう記しています。

フランス国民は、他のどの国民と同様に礼儀正しいとはいえ、ある一定の水準に達した科学は高貴さとは相容れないのではないか、何も知らない方が高貴ではないのかと疑問を抱くような野蛮さを依然として持っていることは認めざるを得ない。…私は個人的に、同時代に仕えていた何人かの人々が、自分たちと同じように生きていた人物がヨーロッパを代表する数学者の一人であったことに大いに驚いているのを見たことがある。

ロピタルは視力障害のためフランス軍を退役したが、単に数学を専念したかっただけという噂もあった。24歳になった彼は、ニコラ・マルブランシュのサークルであるオラトリオ会（議論と親睦のために集まるグループ）に通っていた。そこにはパリの著名な数学者や科学者が多数参加していた。そこで彼はヨハン・ベルヌーイと出会った。ベルヌーイはヤコブ・ベルヌーイの弟で、より気難しい性格だった。ベルヌーイは若い頃にライプニッツの師であり、既に数学の天才と目されていた。ロピタルはベルヌーイの最も熱心な弟子であり、すぐに彼に金銭を支払って個人指導を行うようになった。

ロピタルは、ベルヌーイが彼に与えた講義の解答を、クリスティアーン・ホイヘンスに提出したが、それが自分のものではないとは言わなかった。当然のことながら、反証となる証拠もなかったため、ホイヘンスはロピタルがやったものと推測した。ベルヌーイは激怒し、ロピタルとの頻繁な手紙のやり取りを6ヶ月間中断した。しかし、ロピタルが300ポンド（そして増加し続ける）の報酬で更なる「発見」を求めてきたことで、ベルヌーイは沈黙を破った。彼はロピタルに対し、自身の画期的な発見と講義の独占権も与えてくれるよう求めた。ベルヌーイは即座に、ロピタルが望むなら生涯二度と出版しないと返答した。

ベルヌーイの発見と講義のメモを基に、ロピタルは初の微積分学の教科書となる『曲線を理解するための無限に小さな量の分析』を出版しました。この教科書の中で、ロピタルは、そうでなければ不確定な極限を評価する方法を概説しています。

1. 差が無限に小さい 2 つの量は、互いに区別なく扱われる (または使用される) ことを認めます。または (同じことですが) 無限に小さい量だけ増加または減少した量は、同じままであるとみなすことができます。

2. 曲線は、無限の数の無限に小さい直線の集合体とみなされる、または（同じことですが）無限の数の辺（それぞれは無限に小さい）の多角形とみなされ、それらの辺同士の角度によって曲線の曲率が決定されると認めます。

現代の微積分の教科書ほど正式には示されていませんが、スチュワートの「微積分学：初期超越関数」のセクション4.4では次のように説明されています。

ロピタルの定理（本書ではロピタルとして引用されている）と同様に、彼の当初の主張と現代の反復は概念的に同一である。ロピタルが無限に小さな差について述べるとき、これは極限の表現に類似している。「無限に小さな直線」という概念は、微分に関する幾何学的理解を表しており、現在の微分の概念の祖先である。全体として、第4.4節で述べたように、ロピタルの当初の定理は、不定形は関数の変化率を求めることで解けることを述べている。

ヨハン・ベルヌーイの支持者たちは、彼が貴族の意向に従うよう強要されたと主張している。ベルヌーイは当初、経済的に困窮していたためこのことに同意したが、この取り決めはフローニンゲン大学で教授として成功を収めた後も長く続いた。ベルヌーイがロピタルの著書は「本質的には自分のもの」だと主張したのは、かつての教え子の死後になってからだった。当時、ベルヌーイの評判は兄との度重なる諍いによって不透明になっていた。当時、貴族が政治家や弁護士といった高位の専門家に報酬を支払うのは常識であり、ロピタルを有能な数学者とみなす人も多かった。

ロピタルの研究の完全性について初期の疑問点の一つは、最速降下曲線問題（1696年にヨハン・ベルヌーイが提起した、最速降下曲線に関する問題）に対する彼の解法であった。

数学者に解いてもらいたい新しい問題: 垂直面上に 2 つの点 A と B が与えられている場合、移動する粒子 M に、自身の重さで降下して最短時間で点 A から点 B まで移動する経路 AMB を割り当てます。

この質問に対するロピタルの答えは彼自身のものではなく、おそらく彼の師ベルヌーイ自身の答えだったのではないかという説がある。

最終的に、ロピタルはヨハン・ベルヌーイの教えを統合する能力に長け、急速に発展しつつあった微積分学の分野において重要な著作を出版し、その発展を膨大な読者層に分かりやすくしました。しかし、彼の研究は当時の学術的誠実さの基準を満たすものではなく、17世紀フランスにおいて、同僚たちの真の革新なしに、経済的地位を悪用して学問上の有名人になったと言えるでしょう。

References

“Acta Eruditorum. 1696.” Internet Archive, Lipsiae : Apud J. Grossium et J.F. Gletitschium, 1 Jan. 1696, archive.org/details/s1id13206630.

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