Origini della regola di L’Hôpital

Guillaume-François-Antoine Marchese de l’Hôpital, Marchese di Sainte-Mesme, Conte d’Entremont e Signore d’Ouques-la-Chaise, noto popolarmente come Guillaume L’Hôpital, nacque nel 1661 a Parigi da una famiglia con un importante passato militare. Tuttavia, contro il volere della famiglia e la diffusa percezione di nobiltà in Francia, si appassionò alla matematica fin da giovane. Durante il servizio militare, finse di riposare nella sua tenda e studiò invece geometria. Bernard de Fontenelle scrisse di lui nel suo elogio funebre de L’Hôpital:

Perché bisogna ammettere che la nazione francese, benché ben educata come ogni altra, si trova ancora in quella specie di barbarie per cui si chiede se le scienze, portate fino a un certo punto, siano incompatibili con la nobiltà, e se non sia più nobile non sapere nulla. … Ho visto personalmente alcuni di coloro che prestavano servizio nello stesso periodo, molto stupiti che un uomo che viveva come loro fosse uno dei principali matematici d'Europa.

L'Hôpital lasciò l'esercito francese a causa di un deficit visivo, sebbene si vociferasse che volesse semplicemente dedicarsi alla matematica a tempo pieno. A ventiquattro anni, frequentò la Congregazione dell'Oratorio nel circolo di Nicolas Malebranche (un gruppo che si riuniva per discutere e socializzare), frequentato da molti dei principali matematici e scienziati di Parigi. Lì incontrò Johann Bernoulli, il fratello minore e più petulante di Jakob Bernoulli, che aveva insegnato a Leibniz in gioventù ed era già considerato un genio della matematica. L'Hôpital fu l'allievo più entusiasta di Bernoulli e ben presto lo pagò per fargli da tutor privato.

L'Hôpital presentò a Christiaan Huygens la soluzione di un problema tratto dal corso che Bernoulli gli aveva assegnato, senza specificare che non fosse sua. Comprensibilmente, in assenza di prove contrarie, Huygens diede per scontato che fosse opera di L'Hôpital. Bernoulli si arrabbiò e interruppe la sua frequente corrispondenza epistolare con L'Hôpital per sei mesi, ma ruppe il silenzio quando L'Hôpital gli chiese altre "scoperte" con un compenso di trecento sterline (in aumento). Chiese al suo tutore di concedergli anche i diritti esclusivi sulle sue scoperte e lezioni. Bernoulli rispose prontamente che non avrebbe più pubblicato nulla in vita sua, se L'Hôpital lo avesse desiderato.

Traendo spunto dalle scoperte di Bernoulli e dagli appunti delle sue lezioni, L’Hôpital pubblicò quello che sarebbe diventato il primo libro di testo di calcolo: Analyse de infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes (Analisi delle quantità infinitamente piccole per la comprensione delle curve). In esso, egli delinea come valutare limiti altrimenti indeterminati:

1. Supponiamo che due quantità, la cui differenza è una quantità infinitamente piccola, possano essere prese (o usate) indifferentemente l'una per l'altra; oppure (il che è lo stesso) che una quantità che aumenta o diminuisce solo di una quantità infinitamente piccola possa essere considerata come se rimanesse la stessa.

2. Supponiamo che una curva possa essere considerata come l'insieme di un numero infinito di linee rette infinitamente piccole; oppure (il che è la stessa cosa) come un poligono con un numero infinito di lati, ciascuno infinitamente piccolo, che determinano la curvatura della curva tramite gli angoli che formano tra loro.

Sebbene non presentato in modo così formale come nei libri di testo di calcolo contemporanei, come nella Sezione 4.4 di Calculus: Early Transcendentals di Stewart, che descrive:

come suggerisce la regola di L'Hôpital (citato nel libro come L'Hospital), la sua affermazione originale e le iterazioni moderne sono concettualmente identiche. Quando L'Hôpital parla di differenze infinitamente piccole, ciò è analogo alla rappresentazione dei limiti. L'idea di "rette infinitamente piccole" rappresenta la comprensione geometrica della derivata ed è un'antenata del nostro attuale concetto di derivata. Nel complesso, come nella Sezione 4.4, il teorema originale di L'Hôpital afferma che le forme indefinite possono essere risolte trovando il tasso di variazione delle funzioni.

I simpatizzanti di Johann Bernoulli sostengono che fu costretto a sottomettersi alla volontà della nobiltà. Nonostante l'iniziale consenso di Bernoulli, motivato da difficoltà economiche, l'accordo continuò a lungo, anche durante la sua brillante cattedra a Groninga. Bernoulli affermò che il libro di L'Hôpital fosse "essenzialmente suo" solo dopo la morte del suo ex studente. A quel punto, la reputazione di Bernoulli era incerta a causa di molteplici litigi con il fratello maggiore. All'epoca, era consuetudine per la nobiltà pagare per i servizi di professionisti di alto livello come politici e avvocati, e molti consideravano L'Hôpital un matematico competente a pieno titolo.

Uno dei primi punti di dubbio sull’integrità del lavoro di L’Hôpital fu la sua soluzione al problema della brachistocrona (posto da Johann Bernoulli nel 1696, un problema sulla curva di discesa più rapida):

Nuovo problema che i matematici sono invitati a risolvere: dati due punti A e B in un piano verticale, assegnare a una particella mobile M il percorso AMB lungo il quale, scendendo sotto il proprio peso, passa dal punto A al punto B nel tempo più breve.

Si è ipotizzato che la risposta di L’Hôpital a questa domanda non fosse sua, ma probabilmente quella del suo maestro Bernoulli stesso.

In definitiva, L'Hôpital fu abile nel sintetizzare gli insegnamenti di Johann Bernoulli e pubblicò un'opera fondamentale nel campo in rapida evoluzione del calcolo infinitesimale, rendendone accessibili i risultati a un pubblico enorme. Tuttavia, il suo lavoro non avrebbe retto agli attuali standard di integrità accademica, e si potrebbe dire che abbia abusato della sua posizione finanziaria per diventare una celebrità accademica nella Francia del XVII secolo, senza la genuina innovazione dei suoi pari.

References

“Acta Eruditorum. 1696.” Internet Archive, Lipsiae : Apud J. Grossium et J.F. Gletitschium, 1 Jan. 1696, archive.org/details/s1id13206630.

Katz, Victor J. A History of Mathematics. 3rd ed., Pearson Education Limited, 2014.

L’Hospital, Guillaume François Antoine De, and M. Varignon. Analyse Des Infiniments Pettits, Pour l’intelligence Des Lignes Courbes. ALL-Éditions, 1988.

O’Connor, J J, and E F Robertson. “Guillaume François Antoine Marquis de L’Hôpital.” Maths History, University of St. Andrews School of Mathematics and Statistics, Dec. 2008, mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/De_LHopital/.

Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. Vol. 8.