एल'हॉपिटल के नियम की उत्पत्ति

गिलौम-फ्रांकोइस-एंटोनी मार्क्विस डे ल'हॉस्पिटल, मार्क्विस डे सैंटे-मेस्मे, कॉम्टे डी'एंट्रेमोंट एट सेग्नॉर डी'ओक्स-ला-चेज़, जिन्हें लोकप्रिय रूप से गिलौम ल'हॉस्पिटल के नाम से जाना जाता है, का जन्म 1661 में पेरिस में एक शक्तिशाली सैन्य विरासत वाले परिवार में हुआ था। हालाँकि, अपने परिवार की इच्छा और फ्रांस में कुलीनता की व्यापक धारणा के विरुद्ध, उन्हें छोटी उम्र से ही गणित का शौक था। अपनी सैन्य सेवा के दौरान, उन्होंने अपने तंबू में आराम करने का नाटक किया और इसके बजाय ज्यामिति का अध्ययन किया। बर्नार्ड डी फोंटेनेल ने ल'हॉस्पिटल की अपनी प्रशंसा में उनके बारे में लिखा:

क्योंकि यह स्वीकार करना होगा कि फ्रांसीसी राष्ट्र, यद्यपि किसी भी अन्य राष्ट्र की तरह ही सभ्य है, फिर भी उसमें उस प्रकार की बर्बरता है जिसके कारण वह यह सोचता है कि क्या विज्ञान, एक निश्चित बिंदु तक ले जाए जाने पर, कुलीनता के साथ असंगत है, और क्या कुछ भी न जानना अधिक कुलीनता नहीं है। ... मैंने व्यक्तिगत रूप से उन लोगों में से कुछ को देखा है, जिन्होंने उसी समय सेवा की थी, जो इस बात से बहुत आश्चर्यचकित थे कि एक व्यक्ति जो उनके जैसा रहता था, यूरोप के अग्रणी गणितज्ञों में से एक था।

एल'हॉपिटल ने दृष्टि दोष के कारण फ्रांसीसी सेना छोड़ दी, हालांकि यह अफवाह थी कि वह केवल पूर्णकालिक गणित का अध्ययन करना चाहता था। अब चौबीस वर्ष की उम्र में, वह निकोलस मालेब्रांच के सर्कल (एक समूह जो चर्चा और संगति के लिए इकट्ठा होता है) में ऑरेटरी की मंडली में शामिल हुआ, जिसमें पेरिस के कई प्रमुख गणितज्ञ और वैज्ञानिक शामिल थे। वहाँ, उनकी मुलाकात जोहान बर्नौली से हुई, जो जैकब बर्नौली के छोटे और अधिक चिड़चिड़े भाई थे, जिन्होंने अपनी युवावस्था में लीबनिज़ को पढ़ाया था और पहले से ही एक गणितीय प्रतिभा माने जाते थे। एल'हॉपिटल बर्नौली के सबसे उत्साही छात्र थे और जल्द ही उन्होंने उन्हें निजी तौर पर पढ़ाने के लिए पैसे दिए।

एल'हॉपिटल ने बर्नौली द्वारा दिए गए कोर्स से एक समस्या समाधान क्रिस्टियान ह्यूजेंस को प्रस्तुत किया, बिना यह कहे कि यह उसका अपना नहीं था। जाहिर है, इसके विपरीत कोई सबूत न होने पर, ह्यूजेंस ने मान लिया कि एल'हॉपिटल ने यह किया है। बर्नौली नाराज हो गए और उन्होंने एल'हॉपिटल के साथ छह महीने तक लगातार पत्र-व्यवहार बंद कर दिया - लेकिन जब एल'हॉपिटल ने उनसे तीन सौ पाउंड (और बढ़ती हुई) रिटेनर पर और अधिक "खोजों" के लिए कहा, तो उन्होंने अपनी चुप्पी तोड़ दी। उन्होंने अपने शिक्षक से भी कहा कि वे उन्हें अपनी सफलताओं और व्याख्यानों के लिए विशेष अधिकार दें। बर्नौली ने तुरंत जवाब दिया कि अगर एल'हॉपिटल चाहे तो वे अपने जीवन में फिर कभी कुछ प्रकाशित नहीं करेंगे।

बर्नौली की खोजों और उनके व्याख्यानों के नोट्स से आकर्षित होकर, एल'हॉस्पिटल ने प्रकाशित किया जो पहली कलन पाठ्यपुस्तक बन गई: Analyse de infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (वक्रों की समझ के लिए असीम रूप से छोटी मात्राओं का विश्लेषण।) इसमें, वह बताता है कि अन्यथा अनिर्धारित सीमाओं का मूल्यांकन कैसे किया जाए:

1. मान लीजिए कि दो राशियाँ, जिनका अंतर अनंत रूप से छोटा है, एक दूसरे के लिए उदासीन रूप से ली जा सकती हैं (या उपयोग की जा सकती हैं); या (जो एक ही बात है) कि एक राशि जो केवल एक अनंत रूप से छोटी मात्रा से बढ़ाई या घटाई जाती है, उसे वही माना जा सकता है।

2. मान लीजिए कि एक वक्र को अनंत संख्या में अनंत रूप से छोटी सीधी रेखाओं का समूह माना जा सकता है; या (जो एक ही बात है) अनंत संख्या में भुजाओं वाले बहुभुज के रूप में, जिनमें से प्रत्येक अनंत रूप से छोटी है, जो एक दूसरे के साथ बनाए गए कोणों द्वारा वक्रता निर्धारित करते हैं।

यद्यपि समकालीन कलन की पाठ्यपुस्तकों की तरह औपचारिक रूप से प्रस्तुत नहीं किया गया है, जैसा कि स्टीवर्ट के कलन: अर्ली ट्रान्सेंडैंटल्स के खंड 4.4 में वर्णित है:

एल'हॉस्पिटल के नियम के अनुसार (पुस्तक में एल'हॉस्पिटल के रूप में उद्धृत), उनका मूल कथन और आधुनिक पुनरावृत्तियाँ वैचारिक रूप से समान हैं। जब एल'हॉस्पिटल असीम रूप से छोटे अंतरों के बारे में बात करते हैं, तो यह सीमाओं के प्रतिनिधित्व के समान है। "अनंत रूप से छोटी सीधी रेखाओं" का विचार विभेदन की ज्यामितीय समझ का प्रतिनिधित्व करता है और व्युत्पन्न की हमारी वर्तमान अवधारणा का पूर्वज है। कुल मिलाकर, जैसा कि अनुभाग 4.4 में है, एल'हॉस्पिटल का मूल प्रमेय कहता है कि अनिश्चित रूपों को कार्यों की परिवर्तन दर का पता लगाकर हल किया जा सकता है।

जोहान बर्नौली के समर्थकों का दावा है कि उन्हें कुलीन वर्ग की इच्छा के आगे झुकने के लिए मजबूर किया गया था। वित्तीय हताशा के कारण बर्नौली के शुरुआती समझौते के बावजूद, यह व्यवस्था ग्रोनिंगन में उनके सफल प्रोफेसर बनने तक लंबे समय तक जारी रही। बर्नौली ने दावा किया कि एल'हॉस्पिटल की किताब उनके पूर्व छात्र की मृत्यु के बाद ही "अनिवार्य रूप से उनकी" थी। उस समय, अपने बड़े भाई के साथ कई झगड़ों के बाद बर्नौली की प्रतिष्ठा धूमिल हो गई थी। उस समय, कुलीन वर्ग के लिए राजनेताओं और वकीलों जैसे उच्च-शक्ति वाले पेशेवरों से सेवाओं के लिए भुगतान करना मानक था, और कई लोग एल'हॉस्पिटल को अपने आप में एक सक्षम गणितज्ञ मानते थे।

एल'हॉस्पिटल के काम की अखंडता में संदेह का एक प्रारंभिक बिंदु ब्रैचिस्टोक्रोन समस्या (जोहान बर्नौली द्वारा 1696 में प्रस्तुत, सबसे तेज अवरोहण के वक्र के बारे में एक समस्या) का उनका समाधान था:

नई समस्या जिसे हल करने के लिए गणितज्ञों को आमंत्रित किया जाता है: यदि एक ऊर्ध्वाधर तल में दो बिंदु A और B दिए गए हैं, तो एक गतिशील कण M को वह पथ AMB निर्दिष्ट करना है जिस पर वह अपने भार के कारण उतरते हुए, बिंदु A से बिंदु B तक सबसे कम समय में गुजरता है।

यह सुझाव दिया गया कि इस प्रश्न का उत्तर एल'हॉस्पिटल का अपना नहीं था, बल्कि संभवतः यह उनके शिक्षक बर्नौली का उत्तर था।

अंततः, एल'हॉपिटल जोहान बर्नौली की शिक्षाओं को संश्लेषित करने में कुशल थे और उन्होंने कैलकुलस के तेज़ी से विकसित हो रहे क्षेत्र में एक आवश्यक कृति प्रकाशित की, जिसने विकास को विशाल दर्शकों तक पहुँचाया। हालाँकि, उनका काम अकादमिक अखंडता के वर्तमान मानकों पर खरा नहीं उतर पाया, और यह कहा जा सकता है कि उन्होंने अपने साथियों के वास्तविक नवाचार के बिना सत्रहवीं शताब्दी के फ्रांस में एक अकादमिक हस्ती बनने के लिए अपनी वित्तीय स्थिति का दुरुपयोग किया।

References

“Acta Eruditorum. 1696.” Internet Archive, Lipsiae : Apud J. Grossium et J.F. Gletitschium, 1 Jan. 1696, archive.org/details/s1id13206630.

Katz, Victor J. A History of Mathematics. 3rd ed., Pearson Education Limited, 2014.

L’Hospital, Guillaume François Antoine De, and M. Varignon. Analyse Des Infiniments Pettits, Pour l’intelligence Des Lignes Courbes. ALL-Éditions, 1988.

O’Connor, J J, and E F Robertson. “Guillaume François Antoine Marquis de L’Hôpital.” Maths History, University of St. Andrews School of Mathematics and Statistics, Dec. 2008, mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/De_LHopital/.

Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. Vol. 8.