L'Hôpital's Ruleની ઉત્પત્તિ

ગુઇલાઉમ-ફ્રાન્કોઇસ-એન્ટોઇન માર્ક્વિસ ડે લ'હોપિટલ, માર્ક્વિસ ડે સેન્ટ-મેસ્મે, કોમ્ટે ડી'એન્ટ્રેમોન્ટ એટ સીગ્નુર ડી'ઓક્સ-લા-ચેઇસ, જે ગુઇલાઉમ લ'હોપિટલ તરીકે જાણીતા છે, તેમનો જન્મ 1661 માં પેરિસમાં એક શક્તિશાળી લશ્કરી વારસો ધરાવતા પરિવારમાં થયો હતો. જોકે, તેમના પરિવારની ઇચ્છાઓ અને ફ્રાન્સમાં ખાનદાની પ્રત્યેની વ્યાપક ધારણા વિરુદ્ધ, તેઓ નાનપણથી જ ગણિત પ્રત્યે ઉત્સાહી હતા. તેમની લશ્કરી સેવા દરમિયાન, તેઓ તેમના તંબુમાં આરામ કરવાનો ડોળ કરતા હતા અને તેના બદલે ભૂમિતિનો અભ્યાસ કરતા હતા. બર્નાર્ડ ડી ફોન્ટેનેલે તેમના લ'હોપિટલના વખાણમાં તેમના વિશે લખ્યું છે:

કારણ કે એ સ્વીકારવું જ જોઇએ કે ફ્રેન્ચ રાષ્ટ્ર, ભલે બીજા કોઈપણ રાષ્ટ્ર જેટલું જ સારી રીતે વર્તતું હોય, છતાં પણ તે પ્રકારની બર્બરતામાં છે જેના દ્વારા તે આશ્ચર્ય પામે છે કે શું વિજ્ઞાન, એક ચોક્કસ બિંદુ સુધી લઈ જવામાં આવે છે, તે ખાનદાની સાથે અસંગત છે, અને શું કંઈ ન જાણવું તે વધુ ઉમદા નથી. … મેં વ્યક્તિગત રીતે એવા કેટલાક લોકોને જોયા છે જેમણે તે જ સમયે સેવા આપી હતી, તેઓને ખૂબ જ આશ્ચર્ય થયું કે તેમના જેવા જીવતા એક માણસ યુરોપના અગ્રણી ગણિતશાસ્ત્રીઓમાંનો એક હતો.

L'Hôpital એ દ્રષ્ટિની ખામીને કારણે ફ્રેન્ચ સૈન્ય છોડી દીધું હતું, જોકે એવી અફવા હતી કે તે ફક્ત પૂર્ણ-સમય ગણિતનો અભ્યાસ કરવા માંગતો હતો. હવે ચોવીસ વર્ષનો થયો છે, તે નિકોલસ મેલેબ્રાન્ચના વર્તુળ (ચર્ચા અને ફેલોશિપ માટે ભેગા થતો એક જૂથ) માં કોંગ્રેગેશન ઓફ ધ ઓરેટરીમાં હાજરી આપી હતી, જેમાં પેરિસના ઘણા અગ્રણી ગણિતશાસ્ત્રીઓ અને વૈજ્ઞાનિકો હાજર હતા. ત્યાં, તે જોહાન બર્નૌલીને મળ્યો, જે જેકોબ બર્નૌલીનો નાનો અને વધુ ઉત્સાહી ભાઈ હતો, જેણે તેની યુવાનીમાં લીબનિઝને શીખવ્યું હતું અને પહેલાથી જ ગણિતનો પ્રતિભાશાળી માનવામાં આવતો હતો. L'Hôpital બર્નૌલીનો સૌથી ઉત્સાહી વિદ્યાર્થી હતો અને ટૂંક સમયમાં તેને ખાનગી રીતે ટ્યુટર આપવા માટે પૈસા ચૂકવતો હતો.

L’Hôpital એ બર્નૌલીએ તેમને આપેલા કોર્ષમાંથી સમસ્યાનું સમાધાન રજૂ કર્યું, પરંતુ કહ્યું નહીં કે તે તેમનો પોતાનો કોર્ષ નથી. સમજી શકાય તેવું છે કે, તેનાથી વિપરીત કોઈ પુરાવા ન હોવાથી, Hôpital એ માની લીધું કે L’Hôpital એ જ કર્યું છે. બર્નૌલી ગુસ્સે થયો અને છ મહિના સુધી L’Hôpital સાથે વારંવાર પત્રવ્યવહાર કરતો રહ્યો - પરંતુ L’Hôpital એ તેમને ત્રણસો પાઉન્ડ (અને વધતા જતા) રીટેનર પર વધુ "શોધ" માંગ્યા પછી તેણે પોતાનું મૌન તોડ્યું. તેણે તેના શિક્ષકને તેના સફળતાઓ અને વ્યાખ્યાનો પર વિશિષ્ટ અધિકારો આપવા કહ્યું. બર્નૌલીએ ઝડપથી જવાબ આપ્યો કે જો L’Hôpital ઈચ્છે તો તે તેના જીવનમાં ફરીથી કંઈપણ પ્રકાશિત કરશે નહીં.

બર્નૌલીની શોધો અને તેમના વ્યાખ્યાનોમાંથી નોંધો લઈને, L'Hôpital એ પ્રથમ કેલ્ક્યુલસ પાઠ્યપુસ્તક પ્રકાશિત કર્યું: Analyse de infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (Analysis of Infinitely Small Quantities for the understanding of Curves.) તેમાં, તે અન્યથા અનિશ્ચિત મર્યાદાઓનું મૂલ્યાંકન કેવી રીતે કરવું તે દર્શાવે છે:

૧. એવી માન્યતા આપો કે બે જથ્થાઓ, જેનો તફાવત અનંત નાના જથ્થા જેટલો છે, તેમને એકબીજા માટે ઉદાસીન રીતે લઈ શકાય (અથવા ઉપયોગમાં લઈ શકાય); અથવા (જે એક જ બાબત છે) કે જે જથ્થામાં ફક્ત અનંત નાના જથ્થા દ્વારા વધારો અથવા ઘટાડો થાય છે તેને સમાન રહે છે તેવું ગણી શકાય.

બે. એ વાત સ્વીકારો કે વળાંકને અનંત સંખ્યામાં અનંત નાની સીધી રેખાઓના સમૂહ તરીકે ગણી શકાય; અથવા (જે સમાન બાબત છે) અનંત સંખ્યામાં બાજુઓનો બહુકોણ તરીકે, દરેક અનંત નાની, જે એકબીજા સાથે બનાવેલા ખૂણાઓ દ્વારા વળાંકની વક્રતા નક્કી કરે છે.

જોકે સમકાલીન કેલ્ક્યુલસ પાઠ્યપુસ્તકોની જેમ ઔપચારિક રીતે રજૂ કરવામાં આવતું નથી, જેમ કે સ્ટુઅર્ટના કેલ્ક્યુલસ: અર્લી ટ્રાન્સસેન્ડેન્ટલ્સના વિભાગ 4.4 માં છે, જે વર્ણવે છે:

L’Hôpital ના નિયમ (પુસ્તકમાં L’Hospital તરીકે ટાંકવામાં આવ્યું છે) મુજબ, તેમનું મૂળ વિધાન અને આધુનિક પુનરાવર્તનો કલ્પનાત્મક રીતે સમાન છે. જ્યારે L’Hôpital અનંત નાના તફાવતો વિશે વાત કરે છે, ત્યારે આ મર્યાદાઓના પ્રતિનિધિત્વ જેવું જ છે. "અનંત નાની સીધી રેખાઓ" નો વિચાર ભિન્નતાની ભૌમિતિક સમજણનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે અને વ્યુત્પન્નની આપણી વર્તમાન વિભાવનાનો પૂર્વજ છે. એકંદરે, વિભાગ 4.4 ની જેમ, L’Hôpital ના મૂળ પ્રમેય કહે છે કે અનિશ્ચિત સ્વરૂપોને કાર્યોના પરિવર્તન દર શોધીને ઉકેલી શકાય છે.

જોહાન બર્નૌલીના સહાનુભૂતિ ધરાવતા લોકો દાવો કરે છે કે તેમને ખાનદાનીઓની ઇચ્છાને આધીન રહેવા માટે દબાણ કરવામાં આવ્યું હતું. નાણાકીય હતાશાને કારણે બર્નૌલીના પ્રારંભિક કરાર છતાં, ગ્રોનિન્જેન ખાતે તેમની સફળ પ્રોફેસરશીપ સુધી આ વ્યવસ્થા લાંબા સમય સુધી ચાલુ રહી. બર્નૌલીએ દાવો કર્યો હતો કે લ'હોપિટલનું પુસ્તક તેમના ભૂતપૂર્વ વિદ્યાર્થીના મૃત્યુ પછી જ "મૂળભૂત રીતે તેમનું" હતું. તે સમયે, તેમના મોટા ભાઈ સાથે અનેક ઝઘડાઓ પછી બર્નૌલીની પ્રતિષ્ઠા ધૂંધળી થઈ ગઈ હતી. તે સમયે, રાજકારણીઓ અને વકીલો જેવા ઉચ્ચ-શક્તિવાળા વ્યાવસાયિકો પાસેથી સેવાઓ માટે ચૂકવણી કરવી એ ઉમરાવ વર્ગ માટે ધોરણ હતું, અને ઘણા લોકો લ'હોપિટલને પોતાના અધિકારમાં એક સક્ષમ ગણિતશાસ્ત્રી માનતા હતા.

L'Hôpital ના કાર્યની પ્રામાણિકતામાં શંકાનો એક પ્રારંભિક મુદ્દો બ્રેકિસ્ટોક્રોન સમસ્યા (1696 માં જોહાન બર્નૌલી દ્વારા રજૂ કરાયેલ, સૌથી ઝડપી ઉતરાણના વળાંક વિશેની સમસ્યા) નો તેમનો ઉકેલ હતો:

ગણિતશાસ્ત્રીઓને ઉકેલવા માટે આમંત્રિત કરાયેલી નવી સમસ્યા: જો બે બિંદુઓ A અને B એક ઊભી સમતલમાં આપવામાં આવે, તો એક ગતિશીલ કણ M ને AMB માર્ગ સોંપવા માટે, જેના દ્વારા, તેના પોતાના વજન હેઠળ નીચે ઉતરતા, તે બિંદુ A થી બિંદુ B સુધી ટૂંકા સમયમાં પસાર થાય છે.

એવું સૂચવવામાં આવ્યું હતું કે L'Hôpital નો પ્રશ્નનો જવાબ તેમનો પોતાનો નહોતો, કદાચ તેમના શિક્ષક બર્નૌલીનો જ હતો.

આખરે, L'Hôpital જોહાન બર્નૌલીના ઉપદેશોનું સંશ્લેષણ કરવામાં કુશળ હતા અને તેમણે કેલ્ક્યુલસના ઝડપથી વિકસતા ક્ષેત્રમાં એક આવશ્યક રચના પ્રકાશિત કરી, જેનાથી વિકાસને વિશાળ પ્રેક્ષકો માટે સુલભ બનાવવામાં આવ્યું. જો કે, તેમનું કાર્ય શૈક્ષણિક અખંડિતતાના વર્તમાન ધોરણોને પૂર્ણ કરી શક્યું નહીં, અને એવું કહી શકાય કે તેમણે તેમના સાથીઓની વાસ્તવિક નવીનતા વિના સત્તરમી સદીના ફ્રાન્સમાં શૈક્ષણિક સેલિબ્રિટી બનવા માટે તેમની નાણાકીય સ્થિતિનો દુરુપયોગ કર્યો.

References

“Acta Eruditorum. 1696.” Internet Archive, Lipsiae : Apud J. Grossium et J.F. Gletitschium, 1 Jan. 1696, archive.org/details/s1id13206630.

Katz, Victor J. A History of Mathematics. 3rd ed., Pearson Education Limited, 2014.

L’Hospital, Guillaume François Antoine De, and M. Varignon. Analyse Des Infiniments Pettits, Pour l’intelligence Des Lignes Courbes. ALL-Éditions, 1988.

O’Connor, J J, and E F Robertson. “Guillaume François Antoine Marquis de L’Hôpital.” Maths History, University of St. Andrews School of Mathematics and Statistics, Dec. 2008, mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/De_LHopital/.

Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. Vol. 8.