Origines de la règle de L’Hôpital

Guillaume-François-Antoine, marquis de l’Hôpital, marquis de Sainte-Mesme, comte d’Entremont et seigneur d’Ouques-la-Chaise, plus connu sous le nom de Guillaume L’Hôpital, naquit en 1661 à Paris dans une famille au riche héritage militaire. Cependant, contre la volonté de sa famille et l’image répandue de la noblesse en France, il se passionna pour les mathématiques dès son plus jeune âge. Durant son service militaire, il feignit de se reposer sous sa tente et étudia la géométrie. Bernard de Fontenelle écrivit à son sujet dans son éloge funèbre de L’Hôpital :

Car il faut convenir que la nation française, quoique aussi bien élevée qu'une autre, est encore dans cette espèce de barbarie par laquelle elle se demande si les sciences, poussées jusqu'à un certain point, sont incompatibles avec la noblesse, et s'il n'est pas plus noble de ne rien savoir. … J'ai vu personnellement quelques-uns de ceux qui servaient en même temps, fort étonnés qu'un homme qui vivait comme eux fût un des premiers mathématiciens de l'Europe.

L’Hôpital quitta l’armée française en raison d’une déficience visuelle, bien que la rumeur courait qu’il souhaitait simplement se consacrer aux mathématiques à plein temps. À vingt-quatre ans, il fréquentait la Congrégation de l’Oratoire, dans le cercle de Nicolas Malebranche (un groupe de discussion et de convivialité), où se retrouvaient nombre des plus grands mathématiciens et scientifiques parisiens. C’est là qu’il rencontra Johann Bernoulli, le frère cadet et plus irascible de Jakob Bernoulli, qui avait enseigné à Leibniz dans sa jeunesse et était déjà considéré comme un génie des mathématiques. L’Hôpital fut l’élève le plus enthousiaste de Bernoulli et le rémunéra bientôt pour lui donner des cours particuliers.

L’Hôpital soumit à Christiaan Huygens une solution à un problème tiré du cours que Bernoulli lui avait donné, sans préciser qu’il ne s’agissait pas de lui. Naturellement, sans preuve du contraire, Huygens supposa que c’était L’Hôpital qui l’avait rédigé. Furieux, Bernoulli interrompit sa correspondance épistolaire fréquente avec L’Hôpital pendant six mois, mais rompit le silence lorsque L’Hôpital lui demanda de nouvelles « découvertes » moyennant une provision de trois cents livres (et toujours croissante). Il demanda également à son tuteur de lui accorder l’exclusivité de ses découvertes et de ses conférences. Bernoulli répondit rapidement qu’il ne publierait plus rien de son vivant si L’Hôpital le souhaitait.

S’appuyant sur les découvertes de Bernoulli et sur les notes de ses cours, L’Hôpital a publié ce qui allait devenir le premier manuel de calcul: Analyse de l’infiniment petit pour l’intelligence des lignes courbes. Il y décrit comment évaluer des limites autrement indéterminées :

1. Admettons que deux quantités, dont la différence est une quantité infiniment petite, puissent être prises (ou employées) indifféremment l'une pour l'autre ; ou (ce qui est la même chose) qu'une quantité qui n'est augmentée ou diminuée que d'une quantité infiniment petite puisse être considérée comme restant la même.

2. Admettons qu'une courbe puisse être considérée comme l'assemblage d'un nombre infini de droites infiniment petites ; ou (ce qui est la même chose) comme un polygone d'un nombre infini de côtés, chacun infiniment petit, qui déterminent la courbure de la courbe par les angles qu'ils font entre eux.

Bien que présenté de manière moins formelle que dans les manuels de calcul contemporains, comme dans la section 4.4 de Stewart’s Calculus: Early Transcendentals, qui décrit:

comme la règle de L’Hôpital (citée dans l’ouvrage sous le nom de L’Hospital), son énoncé original et les itérations modernes sont conceptuellement identiques. Lorsque L’Hôpital parle de différences infiniment petites, cela est analogue à la représentation des limites. L’idée de « droites infiniment petites » représente la compréhension géométrique de la différentiation et est un ancêtre de notre concept actuel de dérivée. Globalement, comme dans la section 4.4., le théorème original de L’Hôpital indique que les formes indéfinies peuvent être résolues en trouvant le taux de variation des fonctions.

Les sympathisants de Johann Bernoulli affirment qu'il fut contraint de se soumettre à la volonté de la noblesse. Malgré l'accord initial de Bernoulli, motivé par des difficultés financières, cet arrangement perdura bien après son brillant poste de professeur à Groningue. Bernoulli n'affirma que le livre de L'Hôpital était « essentiellement le sien » qu'après la mort de son ancien élève. À cette époque, la réputation de Bernoulli était ternie par de multiples disputes avec son frère aîné. À l'époque, il était courant pour la noblesse de payer les services de professionnels influents, comme des politiciens et des avocats, et beaucoup considéraient L'Hôpital comme un mathématicien compétent.

Un des premiers points de doute sur l’intégrité du travail de L’Hôpital fut sa solution au problème du brachistochrone (posé par Johann Bernoulli en 1696, un problème sur la courbe de descente la plus rapide) :

Nouveau problème que les mathématiciens sont invités à résoudre : Si deux points A et B sont donnés dans un plan vertical, assigner à une particule mobile M le chemin AMB le long duquel, descendant sous son propre poids, elle passe du point A au point B dans le temps le plus bref.

Il a été suggéré que la réponse de L’Hôpital à cette question n’était pas la sienne, mais probablement celle de son professeur Bernoulli lui-même.

Finalement, L’Hôpital excella à synthétiser les enseignements de Johann Bernoulli et publia un ouvrage essentiel dans le domaine en plein essor du calcul infinitésimal, rendant ainsi ces avancées accessibles à un vaste public. Cependant, son travail ne répondait pas aux normes actuelles d’intégrité académique, et on pourrait dire qu’il abusa de sa situation financière pour devenir une célébrité universitaire dans la France du XVIIe siècle, sans bénéficier de la véritable innovation de ses pairs.

References

“Acta Eruditorum. 1696.” Internet Archive, Lipsiae : Apud J. Grossium et J.F. Gletitschium, 1 Jan. 1696, archive.org/details/s1id13206630.

Katz, Victor J. A History of Mathematics. 3rd ed., Pearson Education Limited, 2014.

L’Hospital, Guillaume François Antoine De, and M. Varignon. Analyse Des Infiniments Pettits, Pour l’intelligence Des Lignes Courbes. ALL-Éditions, 1988.

O’Connor, J J, and E F Robertson. “Guillaume François Antoine Marquis de L’Hôpital.” Maths History, University of St. Andrews School of Mathematics and Statistics, Dec. 2008, mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/De_LHopital/.

Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. Vol. 8.