ریشه های قانون L'Hôpital

Guillaume-François-Antoine Marquis de l'Hôpital، Marquis de Sainte-Mesme، Comte d'Entremont et Seigneur d'Ouques-la-Chaise، معروف به Guillaume L'Hôpital، در سال 1661 در پاریس در خانواده ای با میراث نظامی قدرتمند متولد شد. با این حال، برخلاف میل خانواده‌اش و درک گسترده اشرافیت در فرانسه، او از سنین جوانی به ریاضیات علاقه داشت. او در دوران سربازی وانمود می کرد که در چادرش استراحت می کند و در عوض هندسه می خواند. برنارد دو فونتنل در مداحی خود از L’Hôpital درباره او نوشت:

زیرا باید پذیرفت که ملت فرانسه، اگرچه مانند سایرین خوش اخلاق است، اما همچنان در آن نوع وحشیگری است که به وسیله آن تعجب می‌کند که آیا علومی که به نقطه‌ای معین رسیده‌اند، با اشرافیت ناسازگار هستند، و آیا نجیب‌تر از آن نیست که چیزی ندانند؟ ... من شخصاً برخی از کسانی را دیده ام که در همان زمان خدمت می کردند، بسیار شگفت زده شده بودند که مردی که مانند آنها زندگی می کرد یکی از ریاضیدانان برجسته در اروپا بود.

L'Hôpital ارتش فرانسه را به دلیل نقص بینایی ترک کرد، اگرچه شایعه شده بود که او فقط می خواهد ریاضیات را تمام وقت دنبال کند. او اکنون بیست و چهار ساله است، در جماعت سخنوران در حلقه نیکلاس مالبرانش (گروهی که برای بحث و معاشرت گرد هم می آیند) که جمعیت آن بسیاری از ریاضیدانان و دانشمندان برجسته پاریس بود، شرکت کرد. در آنجا، او با یوهان برنولی، برادر کوچکتر و پرخاشگرتر یاکوب برنولی، که در جوانی لایب نیتس را آموزش داده بود و قبلاً یک نابغه ریاضی محسوب می شد، ملاقات کرد. L’Hôpital مشتاق ترین شاگرد برنولی بود و به زودی به او پول داد تا به طور خصوصی به او آموزش دهد.

L’Hôpital یک راه حل مشکل از دوره ای که برنولی به او داده بود به کریستیان هویگنس ارائه کرد بدون اینکه بگوید این راه حل مال خودش نیست. قابل درک است، بدون هیچ مدرکی دال بر خلاف آن، هویگنز فرض کرد که L’Hôpital این کار را انجام داده است. برنولی عصبانی بود و مکاتبات نامه مکرر خود را به مدت شش ماه با L’Hôpital قطع کرد – اما زمانی که L’Hôpital از او خواست «اکتشافات» بیشتری در مورد یک نگهدارنده 300 پوندی (و در حال افزایش) داشت، سکوت خود را شکست. او از معلم خود خواست که حقوق انحصاری پیشرفت ها و سخنرانی هایش را نیز به او بدهد. برنولی به سرعت پاسخ داد که اگر L’Hôpital بخواهد دیگر چیزی در زندگی خود منتشر نخواهد کرد.

L’Hôpital با تکیه بر اکتشافات برنولی و یادداشت‌های سخنرانی‌های او، اولین کتاب درسی حساب دیفرانسیل و انتگرال را منتشر کرد: Analyse de infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes (تحلیل مقادیر بی‌نهایت کوچک برای درک منحنی‌ها، در غیر این صورت ارزیابی آن را در خطوط غیرمعمول تعیین می‌کند.

1. اعطا کنید که دو کمیت، که تفاوت آنها بینهایت کم است، ممکن است برای یکدیگر بی تفاوت گرفته شوند (یا استفاده شوند). یا (که همان چیزی است) که مقداری که فقط به مقدار بی نهایت کم کم یا زیاد می شود، ممکن است ثابت در نظر گرفته شود.

2. اجازه دهید که یک منحنی ممکن است به عنوان مجموعه ای از تعداد نامتناهی از خطوط مستقیم بی نهایت کوچک در نظر گرفته شود. یا (که همان چیزی است) به صورت چند ضلعی از تعداد نامتناهی اضلاع که هر کدام بی نهایت کوچک هستند که انحنای منحنی را با زوایایی که با یکدیگر می سازند مشخص می کنند.

اگرچه به طور رسمی مانند کتاب‌های درسی حساب امروزی ارائه نشده است، اما در بخش 4.4 کتاب حسابان استوارت: فرامینان اولیه، که شرح می‌دهد:

طبق قانون L’Hôpital (که در کتاب به عنوان L’Hospital ذکر شده است)، بیانیه اصلی او و تکرارهای مدرن از نظر مفهومی یکسان هستند. وقتی L’Hôpital در مورد تفاوت های بی نهایت کوچک صحبت می کند، این شبیه به نمایش محدودیت ها است. ایده "خطوط مستقیم بی نهایت کوچک" نشان دهنده درک هندسی تمایز است و نیای مفهوم فعلی ما از مشتق است. به طور کلی، مانند بخش 4.4، قضیه اصلی L'Hôpital می گوید که اشکال نامحدود را می توان با یافتن نرخ تغییر توابع حل کرد.

هواداران یوهان برنولی ادعا می کنند که او مجبور شده است که تسلیم اراده اشراف شود. علیرغم موافقت اولیه برنولی به دلیل ناامیدی مالی، این ترتیب تا مدتها تا زمان استادی موفق او در گرونینگن ادامه یافت. برنولی مدعی شد که کتاب L’Hôpital فقط پس از مرگ شاگرد سابقش «در اصل متعلق به او» است. در آن زمان، شهرت برنولی پس از چند دعوا با برادر بزرگترش تیره و تار بود. در آن زمان، برای اشراف استاندارد بود که برای خدمات از متخصصان با قدرت بالا مانند سیاستمداران و وکلا بپردازند، و بسیاری L’Hôpital را به‌عنوان یک ریاضیدان شایسته در نظر می‌گرفتند.

یکی از نکات اولیه تردید در یکپارچگی کار L’Hôpital راه حل او برای مسئله براکیستوکرون بود (طرح شده توسط یوهان برنولی در سال 1696، مسئله ای در مورد منحنی سریعترین نزول):

مسئله جدیدی که ریاضیدانان برای حل آن دعوت می شوند: اگر دو نقطه A و B در یک صفحه عمودی داده می شود، برای یک ذره متحرک M مسیر AMB را که در طول آن، تحت وزن خودش پایین می آید، از نقطه A به نقطه B در کوتاه ترین زمان می گذرد، اختصاص دهیم.

گفته شد که پاسخ L’Hôpital به این سوال، احتمالاً پاسخ خود استادش برنولی نیست.

در نهایت، L'Hôpital در ترکیب آموزه‌های یوهان برنولی مهارت داشت و یک اثر اساسی در زمینه به سرعت در حال توسعه حساب دیفرانسیل و انتگرال منتشر کرد، که پیشرفت‌ها را برای مخاطبان زیادی در دسترس قرار داد. با این حال، کار او مطابق با استانداردهای فعلی یکپارچگی آکادمیک نیست، و می توان گفت که او از موقعیت مالی خود برای تبدیل شدن به یک شهرت دانشگاهی در فرانسه در قرن هفدهم بدون نوآوری واقعی همتایان خود سوء استفاده کرد.

References

“Acta Eruditorum. 1696.” Internet Archive, Lipsiae : Apud J. Grossium et J.F. Gletitschium, 1 Jan. 1696, archive.org/details/s1id13206630.

Katz, Victor J. A History of Mathematics. 3rd ed., Pearson Education Limited, 2014.

L’Hospital, Guillaume François Antoine De, and M. Varignon. Analyse Des Infiniments Pettits, Pour l’intelligence Des Lignes Courbes. ALL-Éditions, 1988.

O’Connor, J J, and E F Robertson. “Guillaume François Antoine Marquis de L’Hôpital.” Maths History, University of St. Andrews School of Mathematics and Statistics, Dec. 2008, mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/De_LHopital/.

Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. Vol. 8.