Orígenes de la regla de L'Hôpital

Guillaume-François-Antoine, Marqués de l’Hôpital, Marqués de Sainte-Mesme, Conde de Entremont y Señor de Ouques-la-Chaise, conocido popularmente como Guillaume L’Hôpital, nació en 1661 en París, en el seno de una familia con un importante legado militar. Sin embargo, en contra de los deseos de su familia y de la percepción generalizada de la nobleza en Francia, desde joven sintió pasión por las matemáticas. Durante su servicio militar, fingió descansar en su tienda y, en cambio, estudió geometría. Bernard de Fontenelle escribió sobre él en su panegírico de L’Hôpital:

Porque hay que admitir que la nación francesa, aunque tan educada como cualquier otra, sigue estando en esa especie de barbarie que le hace preguntarse si las ciencias, llevadas hasta cierto punto, son incompatibles con la nobleza, y si no es más noble no saber nada. … Personalmente he visto a algunos de los que sirvieron al mismo tiempo, muy asombrados de que un hombre que vivió como ellos fuera uno de los matemáticos más destacados de Europa.

L’Hôpital abandonó el ejército francés debido a una discapacidad visual, aunque se rumoreaba que simplemente quería dedicarse por completo a las matemáticas. A los veinticuatro años, asistió a la Congregación del Oratorio en el círculo de Nicolas Malebranche (un grupo que se reúne para debatir y compartir), compuesto por muchos de los matemáticos y científicos más destacados de París. Allí conoció a Johann Bernoulli, el hermano menor y más petulante de Jakob Bernoulli, quien había enseñado a Leibniz en su juventud y ya era considerado un genio matemático. L’Hôpital fue el alumno más entusiasta de Bernoulli y pronto le pagó para que le diera clases particulares.

L’Hôpital presentó a Christiaan Huygens la solución de un problema del curso que Bernoulli le había dado, sin decir que no era suya. Como era comprensible, al no haber pruebas de lo contrario, Huygens asumió que L’Hôpital la había creado. Bernoulli, furioso, interrumpió su frecuente correspondencia epistolar con L’Hôpital durante seis meses, pero rompió su silencio cuando L’Hôpital le pidió más «descubrimientos» a cambio de una remuneración de trescientos kilos (y en aumento). Solicitó a su tutor que también le concediera los derechos exclusivos sobre sus descubrimientos y conferencias. Bernoulli respondió rápidamente que no volvería a publicar nada en su vida si L’Hôpital así lo deseaba.

A partir de los descubrimientos de Bernoulli y de las notas de sus conferencias, L’Hôpital publicó lo que se convertiría en el primer libro de texto de cálculo: Analyse de infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes (Análisis de cantidades infinitamente pequeñas para la comprensión de las curvas). En él, describe cómo evaluar límites que de otro modo serían indeterminados:

1. Concedamos que dos cantidades cuya diferencia es una cantidad infinitamente pequeña pueden tomarse (o usarse) indistintamente entre sí; o (lo que es lo mismo) que una cantidad que aumenta o disminuye solo en una cantidad infinitamente pequeña puede considerarse como si permaneciera igual.

2. Concedamos que una curva puede considerarse como el conjunto de un número infinito de líneas rectas infinitamente pequeñas; o (lo que es lo mismo) como un polígono de un número infinito de lados, cada uno infinitamente pequeño, que determinan la curvatura de la curva por los ángulos que forman entre sí.

Aunque no se presenta de manera tan formal como en los libros de texto de cálculo contemporáneos, como en la Sección 4.4 de Cálculo: primeros trascendentales de Stewart, que describe:

como regla de L’Hôpital (citada en el libro como L’Hospital), su enunciado original y las iteraciones modernas son conceptualmente idénticas. Cuando L’Hôpital habla de diferencias infinitamente pequeñas, esto es análogo a la representación de límites. La idea de “líneas rectas infinitamente pequeñas” representa la comprensión geométrica de la diferenciación y es un antecesor de nuestro concepto actual de derivada. En general, como en la Sección 4.4., el teorema original de L’Hôpital afirma que las formas indefinidas pueden resolverse hallando la tasa de variación de las funciones.

Los simpatizantes de Johann Bernoulli afirman que fue obligado a someterse a la voluntad de la nobleza. A pesar de su acuerdo inicial por desesperación económica, el acuerdo se prolongó durante mucho tiempo, incluso después de su exitosa cátedra en Groningen. Bernoulli afirmó que el libro de L'Hôpital era "esencialmente suyo" solo tras la muerte de su antiguo alumno. En ese momento, la reputación de Bernoulli era turbia tras múltiples disputas con su hermano mayor. En aquella época, era habitual que la nobleza pagara por los servicios de profesionales de alto nivel, como políticos y abogados, y muchos consideraban a L'Hôpital un matemático competente por derecho propio.

Un punto temprano de duda sobre la integridad del trabajo de L’Hôpital fue su solución al problema de la braquistócrona (planteado por Johann Bernoulli en 1696, un problema sobre la curva de descenso más rápido):

Nuevo problema que los matemáticos están invitados a resolver: Si se dan dos puntos A y B en un plano vertical, asignar a una partícula móvil M el camino AMB a lo largo del cual, descendiendo por su propio peso, pasa del punto A al punto B en el tiempo más breve.

Se sugirió que la respuesta de L’Hôpital a la pregunta no era la suya, probablemente la de su propio maestro Bernoulli.

En definitiva, L’Hôpital fue un hábil sintetizador de las enseñanzas de Johann Bernoulli y publicó una obra esencial en el campo del cálculo, en rápido desarrollo, que hizo accesibles los avances a un público enorme. Sin embargo, su obra no estaría a la altura de los estándares actuales de integridad académica, y podría decirse que abusó de su posición económica para convertirse en una celebridad académica en la Francia del siglo XVII sin la genuina innovación de sus colegas.

References

“Acta Eruditorum. 1696.” Internet Archive, Lipsiae : Apud J. Grossium et J.F. Gletitschium, 1 Jan. 1696, archive.org/details/s1id13206630.

Katz, Victor J. A History of Mathematics. 3rd ed., Pearson Education Limited, 2014.

L’Hospital, Guillaume François Antoine De, and M. Varignon. Analyse Des Infiniments Pettits, Pour l’intelligence Des Lignes Courbes. ALL-Éditions, 1988.

O’Connor, J J, and E F Robertson. “Guillaume François Antoine Marquis de L’Hôpital.” Maths History, University of St. Andrews School of Mathematics and Statistics, Dec. 2008, mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/De_LHopital/.

Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. Vol. 8.