Προέλευση του κανόνα του L'Hôpital

Ο Guillaume-François-Antoine Marquis de l'Hôpital, ο Marquis de Sainte-Mesme, ο Comte d'Entremont et Seigneur d'Ouques-la-Chaise, γνωστός ευρέως ως Guillaume L'Hôpital, γεννήθηκε το 1661 στο Παρίσι από μια οικογένεια με ισχυρή στρατιωτική κληρονομιά. Ωστόσο, παρά τις επιθυμίες της οικογένειάς του και την ευρέως διαδεδομένη αντίληψη περί ευγενείας στη Γαλλία, ήταν παθιασμένος με τα μαθηματικά από νεαρή ηλικία. Κατά τη διάρκεια της στρατιωτικής του θητείας, προσποιήθηκε ότι ξεκουραζόταν στη σκηνή του και αντ' αυτού σπούδασε γεωμετρία. Ο Bernard de Fontenelle έγραψε γι 'αυτόν στο εγκώμιο του L'Hôpital:

Διότι πρέπει να παραδεχτούμε ότι το γαλλικό έθνος, αν και το ίδιο καλά συμπεριφέρεται όπως όλα τα άλλα, εξακολουθεί να βρίσκεται σε αυτό το είδος βαρβαρότητας με το οποίο αναρωτιέται αν οι επιστήμες, φτασμένες σε ένα ορισμένο σημείο, είναι ασυμβίβαστες με την ευγένεια και αν δεν είναι πιο ευγενές να μην γνωρίζει τίποτα. … Έχω δει προσωπικά μερικούς από αυτούς που υπηρέτησαν την ίδια περίοδο, να εκπλήσσονται πολύ που ένας άνθρωπος που έζησε σαν αυτούς ήταν ένας από τους κορυφαίους μαθηματικούς στην Ευρώπη.

Ο L'Hôpital άφησε τον γαλλικό στρατό λόγω διαταραχής της όρασης, αν και φημολογήθηκε ότι ήθελε απλώς να ακολουθήσει τα μαθηματικά με πλήρη απασχόληση. Τώρα είκοσι τεσσάρων, παρακολούθησε το Congregation of the Oratory στον κύκλο του Nicolas Malebranche (μια ομάδα που συγκεντρώνεται για συζήτηση και συναναστροφή), που κατοικούνταν από πολλούς από τους κορυφαίους μαθηματικούς και επιστήμονες του Παρισιού. Εκεί, γνώρισε τον Johann Bernoulli, τον νεότερο και πιο θλιβερό αδερφό του Jakob Bernoulli, ο οποίος είχε διδάξει τον Leibniz στα νιάτα του και θεωρούνταν ήδη μια μαθηματική ιδιοφυΐα. Ο L'Hôpital ήταν ο πιο ενθουσιώδης μαθητής του Bernoulli και σύντομα τον πλήρωσε για να τον δάσκαλο ιδιωτικά.

Το L'Hôpital υπέβαλε μια λύση προβλήματος από την πορεία που του είχε δώσει ο Bernoulli στον Christiaan Huygens χωρίς να πει ότι δεν ήταν δική του. Όπως είναι λογικό, χωρίς στοιχεία για το αντίθετο, ο Huygens υπέθεσε ότι το είχε κάνει η L'Hôpital. Ο Μπερνούλι ήταν θυμωμένος και διέκοψε τη συχνή επιστολική αλληλογραφία του με το L'Hôpital για έξι μήνες – αλλά έσπασε τη σιωπή του όταν το L'Hôpital του ζήτησε περισσότερες «ανακαλύψεις» σε ένα συγκρότημα τριακοσίων λιβρών (και αυξανόμενο). Ζήτησε από τον δάσκαλό του να του δώσει επίσης αποκλειστικά δικαιώματα για τις ανακαλύψεις και τις διαλέξεις του. Ο Μπερνούλι απάντησε γρήγορα ότι δεν θα δημοσίευε τίποτα ξανά στη ζωή του αν το επιθυμούσε το L'Hôpital.

Αντλώντας από τις ανακαλύψεις του Bernoulli και τις σημειώσεις από τις διαλέξεις του, το L'Hôpital δημοσίευσε αυτό που θα γινόταν το πρώτο εγχειρίδιο λογισμού: Analyse de infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (Analysis of Infinitely Small Quantities for the Understanding of Curves, limits interminate how to review it.

1. Χορηγήστε ότι δύο ποσότητες, των οποίων η διαφορά είναι μια απείρως μικρή ποσότητα, μπορούν να ληφθούν (ή να χρησιμοποιηθούν) αδιάφορα η μία για την άλλη. ή (που είναι το ίδιο πράγμα) ότι μια ποσότητα που αυξάνεται ή μειώνεται μόνο κατά μια απείρως μικρή ποσότητα μπορεί να θεωρηθεί ότι παραμένει ίδια.

2. Επιβεβαιώστε ότι μια καμπύλη μπορεί να θεωρηθεί ως το συγκρότημα ενός άπειρου αριθμού απείρως μικρών ευθειών. ή (που είναι το ίδιο πράγμα) ως πολύγωνο άπειρου αριθμού πλευρών, η καθεμία απείρως μικρή, που καθορίζουν την καμπυλότητα της καμπύλης από τις γωνίες που κάνουν μεταξύ τους.

Αν και δεν παρουσιάζεται τόσο επίσημα όσο στα σύγχρονα εγχειρίδια λογισμού, όπως στην Ενότητα 4.4 του Λογισμού του Stewart: Early Transcendentals, που περιγράφει:

σύμφωνα με τον κανόνα του L'Hôpital (που αναφέρεται στο βιβλίο ως L'Hospital), η αρχική του δήλωση και οι σύγχρονες επαναλήψεις είναι εννοιολογικά ταυτόσημες. Όταν το L’Hôpital μιλά για απείρως μικρές διαφορές, αυτό είναι ανάλογο με την αναπαράσταση των ορίων. Η ιδέα των «άπειρων μικρών ευθειών» αντιπροσωπεύει τη γεωμετρική κατανόηση της διαφοροποίησης και είναι πρόγονος της τρέχουσας αντίληψης της παραγώγου. Συνολικά, όπως και στην Ενότητα 4.4., το αρχικό θεώρημα του L'Hôpital λέει ότι οι αόριστες μορφές μπορούν να λυθούν με την εύρεση του ρυθμού μεταβολής των συναρτήσεων.

Οι συμπαθούντες του Johann Bernoulli ισχυρίζονται ότι εξαναγκάστηκε να υποταχθεί στη θέληση των ευγενών. Παρά την αρχική συμφωνία του Bernoulli λόγω οικονομικής απελπισίας, η συμφωνία συνεχίστηκε για πολύ μέχρι την επιτυχημένη του θέση καθηγητή στο Groningen. Ο Bernoulli ισχυρίστηκε ότι το βιβλίο του L'Hôpital ήταν «ουσιαστικά δικό του» μόνο μετά τον θάνατο του πρώην μαθητή του. Σε εκείνο το σημείο, η φήμη του Μπερνούλι ήταν θολή μετά από πολλές καυγάδες με τον μεγαλύτερο αδερφό του. Εκείνη την εποχή, ήταν πρότυπο για τους ευγενείς να πληρώνουν για υπηρεσίες από επαγγελματίες υψηλής ισχύος, όπως πολιτικούς και δικηγόρους, και πολλοί θεωρούσαν τον L'Hôpital ως έναν ικανό μαθηματικό από μόνος του.

Ένα πρώιμο σημείο αμφιβολίας για την ακεραιότητα του έργου του L'Hôpital ήταν η λύση του στο πρόβλημα του βραχυστόχρονου (που έθεσε ο Johann Bernoulli το 1696, ένα πρόβλημα σχετικά με την καμπύλη της ταχύτερης καθόδου):

Νέο πρόβλημα που καλούνται να λύσουν οι μαθηματικοί: Εάν δίνονται δύο σημεία Α και Β σε ένα κατακόρυφο επίπεδο, για να αντιστοιχιστεί σε ένα κινητό σωματίδιο Μ η διαδρομή AMB κατά την οποία, κατεβαίνοντας με το δικό του βάρος, περνά από το σημείο Α στο σημείο Β στον συντομότερο χρόνο.

Προτάθηκε ότι η απάντηση του L'Hôpital στην ερώτηση δεν ήταν δική του, πιθανώς του ίδιου του δασκάλου του Bernoulli.

Τελικά, η L'Hôpital ήταν ικανή να συνθέσει τις διδασκαλίες του Johann Bernoulli και δημοσίευσε ένα ουσιαστικό έργο στο ταχέως αναπτυσσόμενο πεδίο του λογισμού, το οποίο έκανε τις εξελίξεις προσιτές σε ένα τεράστιο κοινό. Ωστόσο, το έργο του δεν θα ανταποκρινόταν στα τρέχοντα πρότυπα ακαδημαϊκής ακεραιότητας και θα μπορούσαμε να πούμε ότι έκανε κατάχρηση της οικονομικής του θέσης για να γίνει ακαδημαϊκή διασημότητα στη Γαλλία του δέκατου έβδομου αιώνα χωρίς τη γνήσια καινοτομία των συνομηλίκων του.

References

“Acta Eruditorum. 1696.” Internet Archive, Lipsiae : Apud J. Grossium et J.F. Gletitschium, 1 Jan. 1696, archive.org/details/s1id13206630.

Katz, Victor J. A History of Mathematics. 3rd ed., Pearson Education Limited, 2014.

L’Hospital, Guillaume François Antoine De, and M. Varignon. Analyse Des Infiniments Pettits, Pour l’intelligence Des Lignes Courbes. ALL-Éditions, 1988.

O’Connor, J J, and E F Robertson. “Guillaume François Antoine Marquis de L’Hôpital.” Maths History, University of St. Andrews School of Mathematics and Statistics, Dec. 2008, mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/De_LHopital/.

Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. Vol. 8.