Tarddiad Rheol L’Hôpital

Ganed Guillaume-François-Antoine Marquis de l’Hôpital, Marquis de Sainte-Mesme, Comte d’Entremont et Seigneur d’Ouques-la-Chaise, a elwir yn boblogaidd fel Guillaume L’Hôpital, ym 1661 ym Mharis i deulu ag etifeddiaeth filwrol bwerus. Fodd bynnag, yn erbyn dymuniadau ei deulu a'r canfyddiad eang o uchelwyr yn Ffrainc, roedd yn angerddol am fathemateg o oedran ifanc. Yn ystod ei wasanaeth milwrol, fe esgus i orffwys yn ei babell ac yn lle hynny astudio geometreg. Ysgrifennodd Bernard de Fontenelle amdano yn ei foliant i L’Hôpital:

Oblegid y mae yn rhaid addef fod cenedl Ffrainc, er mor foesgar a neb arall, yn dal yn y math yna o farbariaeth trwy yr hon y mae yn synu a ydyw y gwyddorau, wedi eu cymmeryd i ryw bwynt, yn anghydnaws â boneddigion, ac ai nid mwy boneddigaidd yw gwybod dim. …Rwyf yn bersonol wedi gweld rhai o’r rhai oedd yn gwasanaethu ar yr un pryd, wedi synnu’n fawr fod dyn oedd yn byw fel nhw yn un o brif fathemategwyr Ewrop.

Gadawodd L’Hôpital fyddin Ffrainc oherwydd nam ar ei olwg, er bod sïon ei fod eisiau dilyn mathemateg yn llawn amser. Bellach yn bedwar ar hugain oed, mynychodd Gynulleidfa’r Areithio yng nghylch Nicolas Malebranche (grŵp sy’n ymgynnull i drafod a chymdeithasu,) a boblogwyd gan lawer o brif fathemategwyr a gwyddonwyr Paris. Yno, cyfarfu â Johann Bernoulli, brawd iau a mwy petuli Jakob Bernoulli, a oedd wedi dysgu Leibniz yn ei ieuenctid ac a oedd eisoes yn cael ei ystyried yn athrylith fathemategol. L’Hôpital oedd myfyriwr mwyaf brwdfrydig Bernoulli ac yn fuan fe dalodd i’w diwtora’n breifat, yn lle hynny.

Cyflwynodd L’Hôpital ddatrysiad problem o’r cwrs yr oedd Bernoulli wedi’i roi iddo i Christiaan Huygens heb ddweud nad ei rai ef ei hun ydoedd. Yn ddealladwy, heb unrhyw dystiolaeth i’r gwrthwyneb, cymerodd Huygens fod L’Hôpital wedi’i wneud. Roedd Bernoulli yn ddig a thorrodd oddi ar ei lythyr llythyron aml gyda L’Hôpital am chwe mis – ond torrodd ei dawelwch unwaith i L’Hôpital ofyn iddo am fwy o “ddarganfyddiadau” ar daliad cadw o dri chant (a chynyddol). Gofynnodd i'w diwtor hefyd roi hawliau unigryw iddo ar gyfer ei ddatblygiadau arloesol a'i ddarlithoedd. Ymatebodd Bernoulli yn gyflym na fyddai’n cyhoeddi unrhyw beth eto yn ei fywyd pe bai L’Hôpital yn dymuno.

Gan dynnu ar ddarganfyddiadau Bernoulli a nodiadau o’i ddarlithoedd, cyhoeddodd L’Hôpital yr hyn a fyddai’n dod yn werslyfr calcwlws cyntaf: Analyse de infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes (Dadansoddiad o Feintiau Anfeidrol Fach er Deall Cromliniau.) Ynddo, mae’n amlinellu sut i werthuso terfynau amhenodol: fel arall, terfynau amhenodol

1. Caniattâ y gellir cymeryd (neu ddefnyddio) dau swm, y rhai y mae eu gwahaniaeth yn swm anfeidrol fychan, yn ddifater am eu gilydd ; neu (sef yr un peth) y gellir ystyried bod swm a gynyddir neu a leiheir o swm anfeidrol fychan yn aros yr un peth.

2. Caniatáu y gellir ystyried cromlin yn gasgliad o nifer anfeidrol o linellau syth anfeidrol fychan; neu (yr un peth sydd yr un peth) fel polygon o nifer anfeidrol o ochrau, pob un yn anfeidrol fychan, sydd yn penderfynu crymedd y gromlin wrth yr onglau a wnant â'u gilydd.

Er nad yw wedi’i gyflwyno mor ffurfiol ag mewn gwerslyfrau calcwlws cyfoes, fel yn Adran 4.4 o Calcwlws Stewart: Early Transcendentals, sy’n disgrifio:

fel rheol L’Hôpital (a ddyfynnir yn y llyfr fel L’Hospital,) mae ei ddatganiad gwreiddiol a’r iteriadau modern yn gysyniadol union yr un fath. Pan fydd L’Hôpital yn siarad am wahaniaethau anfeidrol fach, mae hyn yn cyfateb i gynrychioliad terfynau. Mae’r syniad o “linellau syth anfeidrol fach” yn cynrychioli’r ddealltwriaeth geometrig o wahaniaethu ac mae’n gyndad i’n cysyniad presennol o ddeilliad. Yn gyffredinol, fel yn Adran 4.4., mae theorem wreiddiol L’Hôpital yn dweud bod modd datrys ffurfiau amhenodol drwy ganfod cyfradd newid y ffwythiannau.

Mae cydymdeimlad Johann Bernoulli yn honni iddo gael ei orfodi i ymostwng i ewyllys uchelwyr. Er gwaethaf cytundeb cychwynnol Bernoulli allan o anobaith ariannol, parhaodd y trefniant ymhell i'w swydd athro llwyddiannus yn Groningen. Honnodd Bernoulli mai dim ond ar ôl marwolaeth ei gyn-fyfyriwr oedd llyfr L’Hôpital “yn ei hanfod”. Ar y pwynt hwnnw, roedd enw da Bernoulli yn wallgof ar ôl rhesi lluosog gyda'i frawd hŷn. Ar y pryd, roedd yn safonol i uchelwyr dalu am wasanaethau gan weithwyr proffesiynol pwerus fel gwleidyddion a chyfreithwyr, ac roedd llawer yn ystyried L’Hôpital yn fathemategydd cymwys yn ei rinwedd ei hun.

Un pwynt cynnar o amheuaeth ynghylch uniondeb gwaith L’Hôpital oedd ei ateb i’r broblem brachistochrone (a achoswyd gan Johann Bernoulli ym 1696, problem ynglŷn â chromlin y disgyniad cyflymaf):

Problem Newydd y Gwahoddir Mathemategwyr i'w Datrys: Os rhoddir dau bwynt A a B mewn plân fertigol, i aseinio i ronyn symudol M y llwybr AMB y mae'n mynd ar ei hyd, gan ddisgyn o dan ei bwysau ei hun, o'r pwynt A i'r pwynt B yn yr amser byrraf.

Awgrymwyd nad ei ateb ef ei hun oedd ateb L’Hôpital i’r cwestiwn, yn ôl pob tebyg ateb ei athro Bernoulli ei hun.

Yn y pen draw, roedd L’Hôpital yn fedrus wrth syntheseiddio dysgeidiaeth Johann Bernoulli a chyhoeddodd opws hanfodol ym maes calcwlws sy’n datblygu’n gyflym, a wnaeth ddatblygiadau yn hygyrch i gynulleidfa enfawr. Fodd bynnag, ni fyddai ei waith yn cyd-fynd â safonau cyfredol cywirdeb academaidd, a gellid dweud iddo gamddefnyddio ei sefyllfa ariannol i ddod yn enwogion academaidd yn Ffrainc yr ail ganrif ar bymtheg heb arloesi gwirioneddol ei gyfoedion.

References

“Acta Eruditorum. 1696.” Internet Archive, Lipsiae : Apud J. Grossium et J.F. Gletitschium, 1 Jan. 1696, archive.org/details/s1id13206630.

Katz, Victor J. A History of Mathematics. 3rd ed., Pearson Education Limited, 2014.

L’Hospital, Guillaume François Antoine De, and M. Varignon. Analyse Des Infiniments Pettits, Pour l’intelligence Des Lignes Courbes. ALL-Éditions, 1988.

O’Connor, J J, and E F Robertson. “Guillaume François Antoine Marquis de L’Hôpital.” Maths History, University of St. Andrews School of Mathematics and Statistics, Dec. 2008, mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/De_LHopital/.

Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. Vol. 8.