L'Hôpital's Rule এর উৎপত্তি

Guillaume-François-Antoine Marquis de l'Hôpital, Marquis de Sainte-Mesme, Comte d'Entremont et Seigneur d'Ouques-la-Chaise, যিনি Guillaume L'Hôpital নামে পরিচিত, ১৬৬১ সালে প্যারিসে একটি শক্তিশালী সামরিক উত্তরাধিকারসম্পন্ন পরিবারে জন্মগ্রহণ করেন। তবে, তার পরিবারের ইচ্ছা এবং ফ্রান্সে আভিজাত্যের ব্যাপক ধারণার বিরুদ্ধে, তিনি অল্প বয়স থেকেই গণিতের প্রতি অনুরাগী ছিলেন। সামরিক চাকরির সময়, তিনি তার তাঁবুতে বিশ্রাম নেওয়ার ভান করতেন এবং পরিবর্তে জ্যামিতি অধ্যয়ন করতেন। বার্নার্ড ডি ফন্টেনেল L'Hôpital-এর প্রশংসায় তার সম্পর্কে লিখেছেন:

কারণ এটা স্বীকার করতেই হবে যে ফরাসি জাতি, যদিও অন্য যেকোনো জাতির মতোই সুন্দর আচরণ করে, তবুও তারা এখনও সেই ধরণের বর্বরতার মধ্যে রয়েছে যেখানে তারা ভাবছে যে বিজ্ঞান কি একটি নির্দিষ্ট পর্যায়ে নিয়ে যাওয়া হলে, আভিজাত্যের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়, এবং কিছুই না জানা কি আরও মহৎ নয়। … আমি ব্যক্তিগতভাবে এমন কিছু লোককে দেখেছি যারা একই সময়ে কাজ করেছিলেন, তারা অত্যন্ত অবাক হয়েছিলেন যে তাদের মতো জীবনযাপন করা একজন ব্যক্তি ইউরোপের অন্যতম শীর্ষস্থানীয় গণিতবিদ ছিলেন।

দৃষ্টি প্রতিবন্ধকতার কারণে ল’হপিটাল ফরাসি সেনাবাহিনী ত্যাগ করেছিলেন, যদিও গুজব ছিল যে তিনি কেবল পূর্ণকালীন গণিত অধ্যয়ন করতে চেয়েছিলেন। চব্বিশ বছর বয়সে, তিনি নিকোলাস ম্যালেব্রাঞ্চের বৃত্তে (আলোচনা এবং সহভাগিতার জন্য একত্রিত হওয়া একটি দল) বক্তৃতা মণ্ডলীতে যোগদান করেছিলেন, যেখানে প্যারিসের অনেক শীর্ষস্থানীয় গণিতবিদ এবং বিজ্ঞানীরা উপস্থিত ছিলেন। সেখানে তিনি জোহান বার্নোলির সাথে দেখা করেন, জ্যাকব বার্নোলির ছোট এবং আরও উত্তেজিত ভাই, যিনি তার যৌবনে লিবনিজকে পড়াতেন এবং ইতিমধ্যেই একজন গণিত প্রতিভা হিসেবে বিবেচিত হতেন। ল’হপিটাল ছিলেন বার্নোলির সবচেয়ে উৎসাহী ছাত্র এবং শীঘ্রই তাকে ব্যক্তিগতভাবে শিক্ষকতা করার জন্য অর্থ প্রদান করেন।

L’Hôpital বার্নোলি যে কোর্সটি তাকে দিয়েছিলেন তা থেকে একটি সমস্যার সমাধান ক্রিশ্চিয়ান হাইগেনসকে জমা দিয়েছিলেন, কিন্তু বলেছিলেন যে এটি তার নিজস্ব নয়। বোধগম্যভাবে, বিপরীত কোনও প্রমাণ না থাকায়, হাইগেনস ধরে নিয়েছিলেন যে L’Hôpital এটি করেছে। বার্নোলি রেগে গিয়ে ছয় মাস ধরে L’Hôpital-এর সাথে তার ঘন ঘন চিঠিপত্র বন্ধ করে দেন - কিন্তু L’Hôpital তাকে তিনশ পাউন্ড (এবং ক্রমবর্ধমান) রিটেইনার সম্পর্কে আরও "আবিষ্কার" চেয়েছিলেন, তাই তিনি নীরবতা ভেঙেছিলেন। তিনি তার শিক্ষককে তার সাফল্য এবং বক্তৃতাগুলির একচেটিয়া অধিকার দেওয়ার জন্যও অনুরোধ করেছিলেন। বার্নোলি দ্রুত উত্তর দিয়েছিলেন যে L’Hôpital চাইলে তিনি তার জীবনে আর কিছু প্রকাশ করবেন না।

বার্নোলির আবিষ্কার এবং তার বক্তৃতা থেকে প্রাপ্ত নোট থেকে, L'Hôpital প্রকাশ করেন যা প্রথম ক্যালকুলাস পাঠ্যপুস্তক হয়ে ওঠে: Analysse de infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (Analysis of Infinitely Small Quantities for the Understanding of Curves.) এতে, তিনি অন্যথায় অনির্দিষ্ট সীমা কীভাবে মূল্যায়ন করবেন তা রূপরেখা দেন:

১. দুটি রাশি, যাদের পার্থক্য অসীম ক্ষুদ্র, একে অপরের জন্য উদাসীনভাবে গ্রহণ করা (বা ব্যবহার করা) যেতে পারে, অথবা (যা একই জিনিস) যে রাশি শুধুমাত্র অসীম ক্ষুদ্র রাশি দ্বারা বৃদ্ধি বা হ্রাস পায়, তাকে একই রয়ে গেছে বলে বিবেচনা করা যেতে পারে।

২. একটি বক্ররেখাকে অসীম সংখ্যক অসীম ছোট সরলরেখার সমাহার হিসেবে বিবেচনা করা যেতে পারে; অথবা (যা একই জিনিস) অসীম সংখ্যক বাহুর বহুভুজ হিসেবে বিবেচনা করা যেতে পারে, প্রতিটি বাহুর প্রতিটি অসীম ছোট, যা একে অপরের সাথে তৈরি কোণ দ্বারা বক্ররেখার বক্রতা নির্ধারণ করে।

যদিও সমসাময়িক ক্যালকুলাস পাঠ্যপুস্তকের মতো আনুষ্ঠানিকভাবে উপস্থাপন করা হয়নি, যেমন স্টুয়ার্টের ক্যালকুলাস: আর্লি ট্রান্সসেন্ডেন্টালস-এর ৪.৪ অনুচ্ছেদে বলা হয়েছে, যা বর্ণনা করে:

L’Hôpital-এর নিয়ম অনুসারে (বইটিতে L’Hospital নামে উদ্ধৃত), তার মূল বক্তব্য এবং আধুনিক পুনরাবৃত্তি ধারণাগতভাবে অভিন্ন। যখন L’Hôpital অসীম ক্ষুদ্র পার্থক্য সম্পর্কে কথা বলে, তখন এটি সীমার প্রতিনিধিত্বের সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ। "অসীম ক্ষুদ্র সরলরেখা" ধারণাটি পার্থক্যের জ্যামিতিক বোধগম্যতার প্রতিনিধিত্ব করে এবং আমাদের বর্তমান ডেরিভেটিভ ধারণার পূর্বসূরী। সামগ্রিকভাবে, ধারা 4.4-এর মতো, L’Hôpital-এর মূল উপপাদ্য বলে যে ফাংশনের পরিবর্তনের হার খুঁজে বের করে অনির্দিষ্ট রূপগুলি সমাধান করা যেতে পারে।

জোহান বার্নোলির প্রতি সহানুভূতিশীলরা দাবি করেন যে তাকে অভিজাতদের ইচ্ছার কাছে আত্মসমর্পণ করতে বাধ্য করা হয়েছিল। আর্থিক হতাশার কারণে বার্নোলির প্রাথমিক চুক্তি সত্ত্বেও, গ্রোনিঞ্জেনে তার সফল অধ্যাপকত্বের আগ পর্যন্ত এই ব্যবস্থা অব্যাহত ছিল। বার্নোলির দাবি ছিল যে ল'হপিটালের বইটি "মূলত তার" ছিল কেবল তার প্রাক্তন ছাত্রের মৃত্যুর পরে। সেই সময়ে, তার বড় ভাইয়ের সাথে একাধিক বিবাদের কারণে বার্নোলির খ্যাতি ম্লান হয়ে পড়েছিল। সেই সময়ে, রাজনীতিবিদ এবং আইনজীবীদের মতো উচ্চ ক্ষমতাসম্পন্ন পেশাদারদের কাছ থেকে পরিষেবার জন্য অর্থ প্রদান করা অভিজাতদের জন্য আদর্শ ছিল এবং অনেকেই ল'হপিটালকে নিজের অধিকারে একজন দক্ষ গণিতবিদ হিসেবে বিবেচনা করতেন।

L'Hôpital-এর কাজের অখণ্ডতা সম্পর্কে সন্দেহের একটি প্রাথমিক বিষয় ছিল ব্র্যাচিস্টোক্রোন সমস্যার সমাধান (যা ১৬৯৬ সালে জোহান বার্নোলি দ্বারা উত্থাপিত হয়েছিল, দ্রুততম অবতরণের বক্ররেখা সম্পর্কে একটি সমস্যা):

নতুন সমস্যা যা সমাধানের জন্য গণিতবিদদের আমন্ত্রণ জানানো হচ্ছে: যদি দুটি বিন্দু A এবং B একটি উল্লম্ব সমতলে দেওয়া হয়, তাহলে একটি চলমান কণা M কে AMB পথ নির্ধারণ করতে হবে, যার মধ্য দিয়ে, তার নিজস্ব ওজনের নিচে নেমে, এটি A বিন্দু থেকে B বিন্দুতে সবচেয়ে কম সময়ের মধ্যে চলে যায়।

ধারণা করা হয়েছিল যে L'Hôpital-এর প্রশ্নের উত্তর তার নিজের নয়, সম্ভবত তার শিক্ষক বার্নোলির নিজের।

পরিশেষে, L'Hôpital জোহান বার্নোলির শিক্ষা সংশ্লেষণে দক্ষ ছিলেন এবং ক্যালকুলাসের দ্রুত বিকাশমান ক্ষেত্রে একটি অপরিহার্য রচনা প্রকাশ করেছিলেন, যা উন্নয়নগুলিকে বিশাল পাঠকদের কাছে অ্যাক্সেসযোগ্য করে তুলেছিল। যাইহোক, তার কাজ বর্তমান একাডেমিক সততার মান ধরে রাখতে পারেনি, এবং এটা বলা যেতে পারে যে তিনি তার সমবয়সীদের প্রকৃত উদ্ভাবন ছাড়াই সপ্তদশ শতাব্দীর ফ্রান্সে একজন একাডেমিক সেলিব্রিটি হওয়ার জন্য তার আর্থিক অবস্থানের অপব্যবহার করেছিলেন।

References

“Acta Eruditorum. 1696.” Internet Archive, Lipsiae : Apud J. Grossium et J.F. Gletitschium, 1 Jan. 1696, archive.org/details/s1id13206630.

Katz, Victor J. A History of Mathematics. 3rd ed., Pearson Education Limited, 2014.

L’Hospital, Guillaume François Antoine De, and M. Varignon. Analyse Des Infiniments Pettits, Pour l’intelligence Des Lignes Courbes. ALL-Éditions, 1988.

O’Connor, J J, and E F Robertson. “Guillaume François Antoine Marquis de L’Hôpital.” Maths History, University of St. Andrews School of Mathematics and Statistics, Dec. 2008, mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/De_LHopital/.

Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. Vol. 8.