أصول قاعدة لوبيتال

وُلد غيوم فرانسوا أنطوان ماركيز دو لوبيتال، ماركيز دو سانت ميسم، كونت دانترمونت، وسينيور دو أوك لا شيز، المعروف شعبيًا باسم غيوم لوبيتال، عام ١٦٦١ في باريس لعائلة ذات إرث عسكري عريق. ومع ذلك، وخلافًا لرغبة عائلته والتصور السائد عن النبلاء في فرنسا، كان شغوفًا بالرياضيات منذ صغره. خلال خدمته العسكرية، تظاهر بالراحة في خيمته ودرس الهندسة بدلًا من ذلك. كتب برنارد دي فونتينيل عنه في تأبينه للوبيتال:

لا بد من الاعتراف بأن الأمة الفرنسية، على الرغم من أدبها الرفيع كغيرها، لا تزال في ذلك النوع من البربرية الذي يدفعها إلى التساؤل عما إذا كانت العلوم، عند حد معين، لا تتوافق مع النبلاء، وما إذا كان من الأسمى ألا تعرف شيئًا. ... لقد رأيت شخصيًا بعضًا ممن خدموا في نفس الوقت، وقد دهشوا بشدة من أن رجلاً عاش مثلهم كان من أبرز علماء الرياضيات في أوروبا.

ترك لوبيتال الجيش الفرنسي بسبب ضعف في بصره، على الرغم من أن شائعاتٍ كانت تُشير إلى رغبته في دراسة الرياضيات بشكل كامل. في الرابعة والعشرين من عمره، كان يحضر مجمع الخطابة في حلقة نيكولا مالبرانش (وهي مجموعة تجتمع للنقاش والتواصل)، والتي كانت تضم العديد من أبرز علماء الرياضيات والعلماء في باريس. هناك، التقى بيوهان برنولي، الأخ الأصغر والأكثر تمردًا لجاكوب برنولي، الذي درّس لايبنيز في شبابه وكان يُعتبر عبقريًا رياضيًا. كان لوبيتال أكثر طلاب برنولي حماسًا، وسرعان ما دفع له أجرًا ليُدرّسه على انفراد.

قدّم لوبيتال حلاًّ لمسألة من المقرر الذي أعطاه إياه برنولي إلى كريستيان هوغنز دون أن يُصرّح بأنه ليس من ابتكاره. ومن المفهوم، ودون وجود دليل يُثبت العكس، أن هوغنز افترض أن لوبيتال هو من فعل ذلك. غضب برنولي وتوقف عن مراسلاته المتكررة مع لوبيتال لستة أشهر، لكنه كسر صمته عندما طلب منه لوبيتال المزيد من "الاكتشافات" مقابل أجرة ثلاثمائة جنيه إسترليني (متزايدة). طلب ​​من مُعلّمه أن يمنحه أيضًا حقوقًا حصرية في اكتشافاته ومحاضراته. أجاب برنولي بسرعة بأنه لن ينشر أي شيء مرة أخرى في حياته إذا رغب لوبيتال في ذلك.

استنادًا إلى اكتشافات برنولي وملاحظاته من محاضراته، نشر لوبيتال ما سيصبح أول كتاب مدرسي في حساب التفاضل والتكامل: تحليل الكميات الصغيرة اللانهائية لفهم المنحنيات. وفي هذا الكتاب، يوضح كيفية تقييم الحدود غير المحددة:

1. افترض أن كميتين، الفرق بينهما كمية صغيرة للغاية، يمكن أن تؤخذ (أو تستخدم) بشكل غير مبالٍ لبعضهما البعض؛ أو (وهو نفس الشيء) أن الكمية التي تزداد أو تنقص بمقدار صغير للغاية فقط يمكن اعتبارها ثابتة.

2 . افترض أن المنحنى يمكن اعتباره مجموعة من عدد لا نهائي من الخطوط المستقيمة الصغيرة للغاية؛ أو (وهو نفس الشيء) مضلعًا له عدد لا نهائي من الأضلاع، كل منها صغير للغاية، والتي تحدد انحناء المنحنى من خلال الزوايا التي تشكلها مع بعضها البعض.

على الرغم من عدم تقديمه رسميًا كما هو الحال في كتب حساب التفاضل والتكامل المعاصرة، كما هو الحال في القسم 4.4 من كتاب ستيوارت "حساب التفاضل والتكامل: المتساميات المبكرة"، والذي يصف:

وفقًا لقاعدة لوبيتال (المذكورة في الكتاب باسم "لوبيتال")، فإن عبارته الأصلية والتكرارات الحديثة متطابقة مفهوميًا. عندما يتحدث لوبيتال عن فروق متناهية الصغر، فإن ذلك يُشبه تمثيل النهايات. تُمثل فكرة "الخطوط المستقيمة المتناهية الصغر" الفهم الهندسي للتفاضل، وهي سلف مفهومنا الحالي للمشتقة. بشكل عام، وكما في القسم 4.4، تنص نظرية لوبيتال الأصلية على أنه يمكن حل الصيغ غير المحددة بإيجاد معدل تغير الدوال.

يزعم متعاطفو يوهان برنولي أنه أُجبر على الخضوع لإرادة النبلاء. ورغم موافقة برنولي الأولية بدافع اليأس المالي، استمر هذا الترتيب لفترة طويلة خلال فترة عمله كأستاذ ناجح في جامعة خرونينجن. ادعى برنولي أن كتاب لوبيتال "في جوهره" كان كتابه فقط بعد وفاة تلميذه السابق. في تلك المرحلة، كانت سمعة برنولي مشوهة بعد خلافات متعددة مع أخيه الأكبر. في ذلك الوقت، كان من المعتاد أن يدفع النبلاء ثمن خدمات كبار المهنيين كالسياسيين والمحامين، وكان الكثيرون يعتبرون لوبيتال عالم رياضيات كفؤًا بحد ذاته.

كانت إحدى نقاط الشك المبكرة في سلامة عمل لوبيتال هي حله لمشكلة الزمن الأقصر (التي طرحها يوهان برنولي في عام 1696، وهي مشكلة تتعلق بأسرع منحنى نزول):

مشكلة جديدة مدعوة لحلها علماء الرياضيات: إذا تم إعطاء نقطتين A و B في مستوى رأسي، لتعيين مسار AMB لجسيم متحرك M، والذي ينزل على طوله تحت وزنه الخاص، ويمر من النقطة A إلى النقطة B في أقصر وقت.

وقد قيل إن إجابة لوبيتال على السؤال لم تكن إجابته الخاصة، بل ربما كانت إجابة معلمه برنولي نفسه.

في نهاية المطاف، برع لوبيتال في تلخيص تعاليم يوهان برنولي، ونشر عملاً أساسياً في مجال التفاضل والتكامل سريع التطور، مما جعل تطوراته في متناول جمهور غفير. إلا أن عمله لم يرق إلى مستوى معايير النزاهة الأكاديمية السائدة، ويمكن القول إنه استغل وضعه المالي ليصبح من المشاهير الأكاديميين في فرنسا في القرن السابع عشر دون الابتكار الحقيقي الذي أبداه أقرانه.

References

“Acta Eruditorum. 1696.” Internet Archive, Lipsiae : Apud J. Grossium et J.F. Gletitschium, 1 Jan. 1696, archive.org/details/s1id13206630.

Katz, Victor J. A History of Mathematics. 3rd ed., Pearson Education Limited, 2014.

L’Hospital, Guillaume François Antoine De, and M. Varignon. Analyse Des Infiniments Pettits, Pour l’intelligence Des Lignes Courbes. ALL-Éditions, 1988.

O’Connor, J J, and E F Robertson. “Guillaume François Antoine Marquis de L’Hôpital.” Maths History, University of St. Andrews School of Mathematics and Statistics, Dec. 2008, mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/De_LHopital/.

Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. Vol. 8.